前缀树
字典树也叫前缀树、Trie。 它本身就是一个树型结构，也就是一颗多叉树，学过树的朋友应该非常容易理解，它的核心操作是插入，查找。删除很少使用，因此这个讲义不包含删除操作。
我们想一下用百度搜索时候，打个“一语”，搜索栏中会给出“一语道破”，“一语成谶(四声的 chen)”等推荐文本，这种叫模糊匹配，也就是给出一个模糊的 query，希望给出一个相关推荐列表，很明显，hashmap 并不容易做到模糊匹配，而 Trie 可以实现基于前缀的模糊搜索。
注意这里的模糊搜索也仅仅是基于前缀的。比如还是上面的例子，搜索“道破”就不会匹配到“一语道破”，而只能匹配“道破 xx”
假想一个场景：给你若干单词 words 和一系列关键字 keywords，让你判断 keywords 是否在 words 中存在，或者判断 keywords 中的单词是否有 words 中的单词的前缀。比如 pre 就是 pres 的前缀之一。
朴素的想法是遍历 keywords，对于 keywords 中的每一项都遍历 words 列表判断二者是否相等，或者是否是其前缀。这种算法的时间复杂度是 $O(m * n)$，其中 m 为 words 的平均长度，n 为 keywords 的平均长度。那么是否有可能对其进行优化呢？答案就是本文要讲的前缀树。
我们可以将 words 存储到一个树上，这棵树叫做前缀树。 一个前缀树大概是这个样子：
如图每一个节点存储一个字符，然后外加一个控制信息表示是否是单词结尾，实际使用过程可能会有细微差别，不过变化不大。
为了搞明白前缀树是如何优化暴力算法的。我们需要了解一下前缀树的基本概念和操作。
- 根结点无实际意义
- 每一个节点数据域存储一个字符
- 每个节点中的控制域可以自定义，如 isWord(是否是单词)，count(该前缀出现的次数)等，需实际问题实际分析需要什么。
一个可能的前缀树节点结构：
private class TrieNode {
int count; //表示以该处节点构成的串的个数
int preCount; //表示以该处节点构成的前缀的字串的个数
TrieNode[] children;
TrieNode() {
children = new TrieNode[26];
count = 0;
preCount = 0;
}
}
可以看出 TriNode 是一个递归的数据结构，其结构类似多叉树，只是多了几个属性记录额外信息罢了。 比如 count 可以用来判断以当前节点结束的单词个数， preCount 可以用来判断以当前节点结束的前缀个数。举个例子：比如前缀树中存了两个单词 lu 和 lucifer，那么单词 lu 有一个，lu 前缀有两个。
前缀树大概如下图：
l(count = 0, preCount=2)
u(count = 1, preCount=2)
c(count = 0, preCount=1)
i(count = 0, preCount=1)
f(count = 0, preCount=1)
e(count = 0, preCount=1)
f(count = 1, preCount=1)
构建 Trie 的核心就是插入。而插入指的就是将单词（words）全部依次插入到前缀树中。假定给出几个单词 words [she,he,her,good,god]构造出一个 Trie 如下图：
也就是说从根结点出发到某一粉色节点所经过的字符组成的单词，在单词列表中出现过，当然我们也可以给树的每个节点加个 count 属性，代表根结点到该节点所构成的字符串前缀 出现的次数
可以看出树的构造非常简单：插入新单词的时候就从根结点出发一个字符一个字符插入，有对应的字符节点就更新对应的属性，没有就创建一个！
查询更简单了，给定一个 Trie 和一个单词，和插入的过程类似，一个字符一个字符找
- 若中途有个字符没有对应节点 →Trie 不含该单词
- 若字符串遍历完了，都有对应节点，但最后一个字符对应的节点并不是粉色的，也就不是一个单词 →Trie 不含该单词
了解了 Trie 的使用场景以及基本的 API， 那么最后就是用代码来实现了。这里我提供了 Python 和 Java 两种语言的代码。
Java Code:
class Trie {
TrieNode root;
public Trie() {
root = new TrieNode();
}
public void insert(String word) {
TrieNode node = root;
for (int i = 0; i < word.length(); i++) {
if (node.children[word.charAt(i) - 'a'] == null)
node.children[word.charAt(i) - 'a'] = new TrieNode();
node = node.children[word.charAt(i) - 'a'];
node.preCount++;
}
node.count++;
}
public boolean search(String word) {
TrieNode node = root;
for (int i = 0; i < word.length(); i++) {
if (node.children[word.charAt(i) - 'a'] == null)
return false;
node = node.children[word.charAt(i) - 'a'];
}
return node.count > 0;
}
public boolean startsWith(String prefix) {
TrieNode node = root;
for (int i = 0; i < prefix.length(); i++) {
if (node.children[prefix.charAt(i) - 'a'] == null)
return false;
node = node.children[prefix.charAt(i) - 'a'];
}
return node.preCount > 0;
}
private class TrieNode {
int count; //表示以该处节点构成的串的个数
int preCount; //表示以该处节点构成的前缀的字串的个数
TrieNode[] children;
TrieNode() {
children = new TrieNode[26];
count = 0;
preCount = 0;
}
}
}
Python Code:
class TrieNode:
def __init__(self):
self.count = 0 # 表示以该处节点构成的串的个数
self.preCount = 0 # 表示以该处节点构成的前缀的字串的个数
self.children = {}
class Trie:
def __init__(self):
self.root = TrieNode()
def insert(self, word):
node = self.root
for ch in word:
if ch not in node.children:
node.children[ch] = TrieNode()
node = node.children[ch]
node.preCount += 1
node.count += 1
def search(self, word):
node = self.root
for ch in word:
if ch not in node.children:
return False
node = node.children[ch]
return node.count > 0
def startsWith(self, prefix):
node = self.root
for ch in prefix:
if ch not in node.children:
return False
node = node.children[ch]
return node.preCount > 0
JavaScript Code
var Trie = function() {
this.children = {};
this.count = 0 //表示以该处节点构成的串的个数
this.preCount = 0 // 表示以该处节点构成的前缀的字串的个数
};
Trie.prototype.insert = function(word) {
let node = this.children;
for(let char of word){
if(!node[char]) node[char] = {}
node = node[char]
node.preCount += 1
}
node.count += 1
};
Trie.prototype.search = function(word) {
let node = this.children;
for(let char of word){
if(!node[char]) return false
node = node[char]
}
return node.count > 0
};
Trie.prototype.startsWith = function(prefix) {
let node = this.children;
for(let char of prefix){
if(!node[char]) return false
node = node[char]
}
return node.preCount > 0
};
复杂度分析
- 插入和查询的时间复杂度自然是$O(len(key))$，key 是待插入(查找)的字串。
- 建树的最坏空间复杂度是$O(m^{n})$, m 是字符集中字符个数，n 是字符串长度。
前面我们抛出了一个问题：给你若干单词 words 和一系列关键字 keywords，让你判断 keywords 是否在 words 中存在，或者判断 keywords 中的单词是否有 words 中的单词的前缀。比如 pre 就是 pres 的前缀之一。
如果使用 Trie 来解，会怎么样呢？首先我们需要建立 Trie，这部分的时间复杂度是 $O(t)$，其中 t 为 words 的总字符。预处理完毕之后就是查询了。对于查询，由于树的高度是 $O(m)$，其中 m 为 words 的平均长度，因此查询基本操作的次数不会大于 $m$。当然查询的基本操作次数也不会大于 $k$，其中 k 为被查询单词 keyword 的长度，因此对于查询来说，时间复杂度为 $O(min(m, k))$。时间上优化的代价是空间上的消耗，对于空间来说则是预处理的消耗，空间复杂度为 $O(t)$。
简单来说， 前缀树就是一个树。前缀树一般是将一系列的单词记录到树上， 如果这些单词没有公共前缀，则和直接用数组存没有任何区别。而如果有公共前缀， 则公共前缀仅会被存储一次。可以想象，如果一系列单词的公共前缀很多， 则会有效减少空间消耗。
而前缀树的意义实际上是空间换时间，这和哈希表，动态规划等的初衷是一样的。
其原理也很简单，正如我前面所言，其公共前缀仅会被存储一次，因此如果我想在一堆单词中找某个单词或者某个前缀是否出现，我无需进行完整遍历，而是遍历前缀树即可。本质上，使用前缀树和不使用前缀树减少的时间就是公共前缀的数目。也就是说，一堆单词没有公共前缀，使用前缀树没有任何意义。
正如上面所说，前缀树的核心思想是用空间换时间，利用字符串的公共前缀来降低查询的时间开销。
比如给你一个字符串 query，问你这个字符串是否在字符串集合中出现过，这样我们就可以将字符串集合建树，建好之后来匹配 query 是否出现，那有的朋友肯定会问，之前讲过的 hashmap 岂不是更好？
因此，这里我的理解是：上述精确查找只是模糊查找一个特例，模糊查找 hashmap 显然做不到，并且如果在精确查找问题中，hashmap 出现过多冲突，效率还不一定比 Trie 高，有兴趣的朋友可以做一下测试，看看哪个快。
再比如给你一个长句和一堆敏感词，找出长句中所有敏感词出现的所有位置（想下，有时候我们口吐芬芳，结果发送出去却变成了****，懂了吧）
小提示：实际上 AC 自动机就利用了 trie 的性质来实现敏感词的匹配，性能非常好。以至于很多编辑器都是用的 AC 自动机的算法。
还有些其他场景，这里不过多讨论，有兴趣的可以 google 一下。
以下是本专题的六道题目的题解，内容会持续更新，感谢你的关注～
前缀树的核心思想是用空间换时间，利用字符串的公共前缀来降低查询的时间开销。因此如果题目中公共前缀比较多，就可以考虑使用前缀树来优化。
前缀树的基本操作就是插入和查询，其中查询可以完整查询，也可以前缀查询，其中基于前缀查询才是前缀树的灵魂，也是其名字的来源。
最后给大家提供了两种语言的前缀树模板，大家如果需要用，直接将其封装成标准 API 调用即可。
基于前缀树的题目变化通常不大， 使用模板就可以解决。如何知道该使用前缀树优化是一个难点，不过大家只要牢牢记一点即可，那就是算法的复杂度瓶颈在字符串查找，并且字符串有很多公共前缀，就可以用前缀树优化。