# 0493. 翻转对

### 题目地址（493. 翻转对）

<https://leetcode-cn.com/problems/reverse-pairs/>

### 题目描述

```
给定一个数组 nums ，如果 i < j 且 nums[i] > 2*nums[j] 我们就将 (i, j) 称作一个重要翻转对。

你需要返回给定数组中的重要翻转对的数量。

示例 1:

输入: [1,3,2,3,1]
输出: 2
示例 2:

输入: [2,4,3,5,1]
输出: 3
注意:

给定数组的长度不会超过50000。
输入数组中的所有数字都在32位整数的表示范围内。

```

### 前置知识

* 归并排序
* 逆序数
* 分治

### 公司

* 阿里
* 百度
* 字节

### 暴力法

#### 思路

读完这道题你应该就能联想到逆序数才行。求解逆序数最简单的做法是使用双层循环暴力求解。我们仿照求解决逆序数的解法来解这道题（其实唯一的区别就是系数从 1 变成了 2）。

#### 代码

代码支持：Python3

Python3 Code:

```python
class Solution(object):
    def reversePairs(self, nums):
        n = len(nums)
        cnt = 0
        for i in range(n):
            for j in range(i + 1, n):
                if nums[i] > 2 * nums[j]:
                    cnt += 1
        return cnt
```

### 分治法

#### 思路

如果你能够想到逆序数，那么你很可能直到使用类似归并排序的方法可以求解逆序数。实际上逆序数只是归并排序的副产物而已。

我们在正常的归并排序的代码中去计算逆序数即可。由于每次分治的过程，左右两段数组分别是有序的，因此我们可以减少一些运算。 从时间复杂度的角度上讲，我们从$O(N^2)$优化到了 $O(NlogN)$。

具体来说，对两段有序的数组，有序数组内部是不需要计算逆序数的。 我们计算逆序数的逻辑只是计算两个数组之间的逆序数，我们假设两个数组是 A 和 B，并且 A 数组最大的元素不大于 B 数组最小的元素。而要做到这样，我们只需要常规的归并排序即可。

接下来问题转化为求解两个有序数组之间的逆序数，并且两个有序数组之间满足关系`A数组最大的元素不大于B数组最小的元素`。

关于计算逆序数的核心代码(Python3):

```python
l = r = 0
while l < len(left) and r < len(right):
    if left[l] <= 2 * right[r]:
        l += 1
    else:
        self.cnt += len(left) - l
        r += 1
```

#### 代码

代码支持：Python3

Python3 Code:

```python
class Solution(object):
    def reversePairs(self, nums):
        self.cnt = 0

        def mergeSort(lst):
            L = len(lst)
            if L <= 1:
                return lst
            return mergeTwo(mergeSort(lst[:L//2]), mergeSort(lst[L//2:]))

        def mergeTwo(left, right):
            l = r = 0
            while l < len(left) and r < len(right):
                if left[l] <= 2 * right[r]:
                    l += 1
                else:
                    self.cnt += len(left) - l
                    r += 1
            return sorted(left+right)

        mergeSort(nums)
        return self.cnt

```

**复杂度分析**

* 时间复杂度：$O(NlogN)$
* 空间复杂度：$O(logN)$

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对于具体的排序过程我们偷懒直接使用了语言内置的方法 sorted，这在很多时候是有用的，即使你是参加面试，这种方式通常也是允许的。省略非核心的考点，可以使得问题更加聚焦，这是一种解决问题的思路，在工作中也很有用。

### 关键点解析

* 归并排序
* 逆序数
* 分治
* 识别考点，其他非重点可以使用语言内置方法

### 扩展

这道题还有很多别的解法，感性的可以参考下这个题解 [General principles behind problems similar to "Reverse Pairs"](https://leetcode.com/problems/reverse-pairs/discuss/97268/General-principles-behind-problems-similar-to-%22Reverse-Pairs%22)