你的衣服我扒了 * 《最长公共子序列》

之前出了一篇穿上衣服我就不认识你了？来聊聊最长上升子序列，收到了大家的一致好评。今天给大家带来的依然是换皮题 - 最长公共子序列系列。

最长公共子序列是一个很经典的算法题。有的会直接让你求最长上升子序列，有的则会换个说法，但最终考察的还是最长公共子序列。那么问题来了，它穿上衣服你还看得出来是么？

如果你完全看不出来了，说明抽象思维还不到火候。经常看我的题解的同学应该会知道，我经常强调抽象思维。没有抽象思维，所有的题目对你来说都是新题。你无法将之前做题的经验迁移到这道题，那你做的题意义何在？

虽然抽象思维很难练成，但是幸好算法套路是有限的，经常考察的题型更是有限的。从这些入手，或许可以让你轻松一些。本文就从一个经典到不行的题型《最长公共子序列》，来帮你进一步理解抽象思维。

注意。 本文是帮助你识别套路，从横向上理清解题的思维框架，并没有采用最优解，所有的题目给的解法可能不是最优的，但是都可以通过所有的测试用例。如果你想看最优解，可以直接去讨论区看。或者期待我的深入剖析系列。

718. 最长重复子数组

题目地址

https://leetcode-cn.com/problems/maximum-length-of-repeated-subarray/

题目描述

给两个整数数组  A  和  B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例 1:

输入:
A: [1,2,3,2,1]
B: [3,2,1,4,7]
输出: 3
解释:
长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1]。
说明:

1 <= len(A), len(B) <= 1000
0 <= A[i], B[i] < 100

前置知识

  • 哈希表

  • 数组

  • 二分查找

  • 动态规划

思路

这就是最经典的最长公共子序列问题。一般这种求解两个数组或者字符串求最大或者最小的题目都可以考虑动态规划，并且通常都定义 dp[i][j] 为 以 A[i], B[j] 结尾的 xxx。这道题就是：以 A[i], B[j] 结尾的两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

关于状态转移方程的选择可以参考： 穿上衣服我就不认识你了？来聊聊最长上升子序列

算法很简单：

  • 双层循环找出所有的 i, j 组合，时间复杂度 $O(m * n)$，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。

    • 如果 A[i] == B[j]，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

    • 否则，dp[i][j] = 0

  • 循环过程记录最大值即可。

记住这个状态转移方程，后面我们还会频繁用到。

关键点解析

  • dp 建模套路

代码

代码支持：Python

Python Code:

class Solution:
    def findLength(self, A, B):
        m, n = len(A), len(B)
        ans = 0
        dp = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if A[i - 1] == B[j - 1]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                    ans = max(ans, dp[i][j])
        return ans

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(m * n)$，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。

  • 空间复杂度：$O(m * n)$，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。

二分查找也是可以的，不过并不容易想到，大家可以试试。

1143.最长公共子序列

题目地址

https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence

题目描述

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。 示例 2:

输入：text1 = "abc", text2 = "abc" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。 示例 3:

输入：text1 = "abc", text2 = "def" 输出：0 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。

提示:

1 <= text1.length <= 1000 1 <= text2.length <= 1000 输入的字符串只含有小写英文字符。

前置知识

  • 数组

  • 动态规划

思路

和上面的题目类似，只不过数组变成了字符串（这个无所谓），子数组（连续）变成了子序列 （非连续）。

算法只需要一点小的微调： 如果 A[i] != B[j]，那么 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

关键点解析

  • dp 建模套路

代码

你看代码多像

代码支持：Python

Python Code:

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, A: str, B: str) -> int:
        m, n = len(A), len(B)
        ans = 0
        dp = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if A[i - 1] == B[j - 1]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                    ans = max(ans, dp[i][j])
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
        return ans

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(m * n)$，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。

  • 空间复杂度：$O(m * n)$，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。

1035. 不相交的线

题目地址

https://leetcode-cn.com/problems/uncrossed-lines/description/

题目描述

我们在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 A 和 B 中的整数。

现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

以这种方法绘制线条，并返回我们可以绘制的最大连线数。

示例 1：

输入：A = [1,4,2], B = [1,2,4] 输出：2 解释： 我们可以画出两条不交叉的线，如上图所示。 我们无法画出第三条不相交的直线，因为从 A[1]=4 到 B[2]=4 的直线将与从 A[2]=2 到 B[1]=2 的直线相交。 示例 2：

输入：A = [2,5,1,2,5], B = [10,5,2,1,5,2] 输出：3 示例 3：

输入：A = [1,3,7,1,7,5], B = [1,9,2,5,1] 输出：2

提示：

1 <= A.length <= 500 1 <= B.length <= 500 1 <= A[i], B[i] <= 2000

前置知识

  • 数组

  • 动态规划

思路

从图中可以看出，如果想要不相交，则必然相对位置要一致，换句话说就是：公共子序列。因此和上面的 1143.最长公共子序列 一样，属于换皮题，代码也是一模一样。

关键点解析

  • dp 建模套路

代码

你看代码多像

代码支持：Python

Python Code:

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, A: str, B: str) -> int:
        m, n = len(A), len(B)
        ans = 0
        dp = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if A[i - 1] == B[j - 1]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                    ans = max(ans, dp[i][j])
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
        return ans

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(m * n)$，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。

  • 空间复杂度：$O(m * n)$，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。

总结

第一道是“子串”题型，第二和第三则是“子序列”。不管是“子串”还是“子序列”，状态定义都是一样的，不同的只是一点小细节。

只有熟练掌握基础的数据结构与算法，才能对复杂问题迎刃有余。 基础算法，把它彻底搞懂，再去面对出题人的各种换皮就不怕了。相反，如果你不去思考题目背后的逻辑，就会刷地很痛苦。题目稍微一变化你就不会了，这也是为什么很多人说刷了很多题，但是碰到新的题目还是不会做的原因之一。关注公众号力扣加加，努力用清晰直白的语言还原解题思路，并且有大量图解，手把手教你识别套路，高效刷题。

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