第五章 - 高频考题（中等）
1906. 查询差绝对值的最小值
0785. 判断二分图
题目地址（785. 判断二分图）
题目描述
1
给定一个无向图 graph，当这个图为二分图时返回 true。
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3
如果我们能将一个图的节点集合分割成两个独立的子集 A 和 B，并使图中的每一条边的两个节点一个来自 A 集合，一个来自 B 集合，我们就将这个图称为二分图。
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5
graph 将会以邻接表方式给出，graph[i]表示图中与节点 i 相连的所有节点。每个节点都是一个在 0 到 graph.length-1 之间的整数。这图中没有自环和平行边： graph[i] 中不存在 i，并且 graph[i]中没有重复的值。
6
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示例 1:
8
输入: [[1,3], [0,2], [1,3], [0,2]]
9
输出: true
10
解释:
11
无向图如下:
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0----1
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| |
14
| |
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3----2
16
我们可以将节点分成两组: {0, 2} 和 {1, 3}。
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示例 2:
19
输入: [[1,2,3], [0,2], [0,1,3], [0,2]]
20
输出: false
21
解释:
22
无向图如下:
23
0----1
24
| \ |
25
| \ |
26
3----2
27
我们不能将节点分割成两个独立的子集。
28
注意:
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graph 的长度范围为 [1, 100]。
31
graph[i] 中的元素的范围为 [0, graph.length - 1]。
32
graph[i] 不会包含 i 或者有重复的值。
33
图是无向的: 如果 j 在 graph[i]里边, 那么 i 也会在 graph[j]里边。
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前置知识
- 图的遍历
- DFS
公司
- 暂无
着色法 + DFS
求二分图有两种思路，一个是着色法，另外一个是并查集。
思路
和 886 思路一样。 我甚至直接拿过来 dfs 函数一行代码没改就 AC 了。
唯一需要调整的地方是 graph 。 我将其转换了一下，具体可以看代码，非常简单易懂。
具体算法：
- 设置一个长度为 N 的数组 colors，colors[i] 表示 节点 i 的颜色，0 表示无颜色， 1 表示一种颜色， - 1 表示另一种颜色。
- 初始化 colors 全部为 0
- 构图（这里有邻接矩阵） 使得 grid[i][j] 表示 i 和 j 是否有连接（这里用 0 表示无， 1 表示有）
- 遍历图。
- 如果当前节点未染色，则染色，不妨染为颜色 1
- 递归遍历其邻居
- 如果邻居没有染色， 则染为另一种颜色。即 color * - 1，其中 color 为当前节点的颜色
- 否则，判断当前节点和邻居的颜色是否一致，不一致则返回 False，否则返回 True
强烈建议两道题一起练习一下。
关键点
- 图的建立和遍历
- colors 数组
代码
1
class Solution:
2
def dfs(self, grid, colors, i, color, N):
3
colors[i] = color
4
for j in range(N):
5
if grid[i][j] == 1:
6
if colors[j] == color:
7
return False
8
if colors[j] == 0 and not self.dfs(grid, colors, j, -1 * color, N):
9
return False
10
return True
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12
def isBipartite(self, graph: List[List[int]]) -> bool:
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N = len(graph)
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grid = [[0] * N for _ in range(N)]
15
colors = [0] * N
16
for i in range(N):
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for j in graph[i]:
18
grid[i][j] = 1
19
for i in range(N):
20
if colors[i] == 0 and not self.dfs(grid, colors, i, 1, N):
21
return False
22
return True
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复杂度分析
令 v 和 e 为图中的顶点数和边数。
- 时间复杂度：$O(v+e)$
- 空间复杂度：$O(v)$, stack depth = $O(v)$, and colors array.length = $O(v)$
如上代码并不优雅，之所以这么写只是为了体现和 886 题一致性。一个更加优雅的方式是不建立 grid，而是利用题目给的 graph（邻接矩阵）。
1
class Solution:
2
def isBipartite(self, graph: List[List[int]]) -> bool:
3
n = len(graph)
4
colors = [0] * n
5
def dfs(i, color):
6
colors[i] = color
7
for neibor in graph[i]:
8
if colors[neibor] == color: return False
9
if colors[neibor] == 0 and not dfs(neibor,-1*color): return False
10
return True
11
for i in range(n):
12
if colors[i] == 0 and not dfs(i,1): return False
13
return True
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并查集
思路
遍历图，对于每一个顶点 i，将其所有邻居进行合并，合并到同一个联通域中。这样当发现某个顶点 i 和其邻居已经在同一个联通分量的时候可以直接返回 false，否则返回 true。
代码
代码支持：Python3，Java
Python3 Code：
1
class UF:
2
def __init__(self, n):
3
self.parent = {}
4
for i in range(n):
5
self.parent[i] = i
6
def union(self, i,j):
7
self.parent[self.find(i)] = self.find(j)
8
def find(self, i):
9
if i == self.parent[i]: return i
10
self.parent[i] = self.find(self.parent[i])
11
return self.parent[i]
12
def is_connected(self, i,j):
13
return self.find(i) == self.find(j)
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15
class Solution:
16
def isBipartite(self, graph: List[List[int]]) -> bool:
17
n = len(graph)
18
uf = UF(n)
19
for i in range(n):
20
for neibor in graph[i]:
21
if uf.is_connected(i, neibor): return False
22
uf.union(graph[i][0], neibor)
23
return True
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Java Code：
1
// weighted quick-union with path compression
2
class Solution {
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class UF {
4
int numOfUnions; // number of unions
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int[] parent;
6
int[] size;
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8
UF(int numOfElements) {
9
numOfUnions = numOfElements;
10
parent = new int[numOfElements];
11
size = new int[numOfElements];
12
for (int i = 0; i < numOfElements; i++) {
13
parent[i] = i;
14
size[i] = 1;
15
}
16
}
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// find the head/representative of x
19
int find(int x) {
20
while (x != parent[x]) {
21
parent[x] = parent[parent[x]];
22
x = parent[x];
23
}
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return x;
25
}
26
27
void union(int p, int q) {
28
int headOfP = find(p);
29
int headOfQ = find(q);
30
if (headOfP == headOfQ) {
31
return;
32
}
33
// connect the small tree to the larger tree
34
if (size[headOfP] < size[headOfQ]) {
35
parent[headOfP] = headOfQ; // set headOfP's parent to be headOfQ
36
size[headOfQ] += size[headOfP];
37
} else {
38
parent[headOfQ] = headOfP;
39
size[headOfP] += size[headOfQ];
40
}
41
numOfUnions -= 1;
42
}
43
44
boolean connected(int p, int q) {
45
return find(p) == find(q);
46
}
47
}
48
49
public boolean isBipartite(int[][] graph) {
50
int n = graph.length;
51
UF unionfind = new UF(n);
52
// i is what node each adjacent list is for
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for (int i = 0; i < n; i++) {
54
// i's neighbors
55
for (int neighbor : graph[i]) {
56
// i should not be in the union of its neighbors
57
if (unionfind.connected(i, neighbor)) {
58
return false;
59
}
60
// add into unions
61
unionfind.union(graph[i][0], neighbor);
62
}
63
}
64
65
return true;
66
}
Copied!
复杂度分析
令 v 和 e 为图中的顶点数和边数。
- 时间复杂度：$O(v+e)$, using weighted quick-union with path compression, where union, find and connected are $O(1)$, constructing unions takes $O(v)$
- 空间复杂度：$O(v)$ for auxiliary union-find space int[] parent, int[] space
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