力扣加加 - 努力做西湖区最好的算法题解
  • introduction
  • 第一章 - 算法专题
    • 数据结构
    • 链表专题
    • 树专题
    • 堆专题(上)
    • 堆专题(下)
    • 二分专题(上)
    • 二分专题(下)
    • 动态规划(重置版)
    • 大话搜索
    • 二叉树的遍历
    • 哈夫曼编码和游程编码
    • 布隆过滤器
    • 前缀树
    • 回溯
    • 滑动窗口(思路 + 模板)
    • 位运算
    • 小岛问题
    • 最大公约数
    • 并查集
    • 平衡二叉树专题
    • 蓄水池抽样
    • 单调栈
  • 第二章 - 91 天学算法
    • 91 天学算法第三期视频会议总结
    • 第一期讲义-二分法
    • 第一期讲义-双指针
    • 第三期正在火热进行中
  • 第三章 - 精选题解
    • 字典序列删除
    • 西法的刷题秘籍】一次搞定前缀和
    • 字节跳动的算法面试题是什么难度?
    • 字节跳动的算法面试题是什么难度?(第二弹)
    • 《我是你的妈妈呀》 * 第一期
    • 一文带你看懂二叉树的序列化
    • 穿上衣服我就不认识你了?来聊聊最长上升子序列
    • 你的衣服我扒了 * 《最长公共子序列》
    • 一文看懂《最大子序列和问题》
  • 第四章 - 高频考题(简单)
    • 面试题 17.12. BiNode
    • 0001. 两数之和
    • 0020. 有效的括号
    • 0021. 合并两个有序链表
    • 0026. 删除排序数组中的重复项
    • 0053. 最大子序和
    • 0160. 相交链表
    • 0066. 加一
    • 0088. 合并两个有序数组
    • 0101. 对称二叉树
    • 0104. 二叉树的最大深度
    • 0108. 将有序数组转换为二叉搜索树
    • 0121. 买卖股票的最佳时机
    • 0122. 买卖股票的最佳时机 II
    • 0125. 验证回文串
    • 0136. 只出现一次的数字
    • 0155. 最小栈
    • 0167. 两数之和 II 输入有序数组
    • 0169. 多数元素
    • 0172. 阶乘后的零
    • 0190. 颠倒二进制位
    • 0191. 位 1 的个数
    • 0198. 打家劫舍
    • 0203. 移除链表元素
    • 0206. 反转链表
    • 0219. 存在重复元素 II
    • 0226. 翻转二叉树
    • 0232. 用栈实现队列
    • 0263. 丑数
    • 0283. 移动零
    • 0342. 4 的幂
    • 0349. 两个数组的交集
    • 0371. 两整数之和
    • 401. 二进制手表
    • 0437. 路径总和 III
    • 0455. 分发饼干
    • 0504. 七进制数
    • 0575. 分糖果
    • 0665. 非递减数列
    • 0661. 图片平滑器
    • 821. 字符的最短距离
    • 0874. 模拟行走机器人
    • 1128. 等价多米诺骨牌对的数量
    • 1260. 二维网格迁移
    • 1332. 删除回文子序列
    • 2591. 将钱分给最多的儿童
  • 第五章 - 高频考题(中等)
    • 面试题 17.09. 第 k 个数
    • 面试题 17.23. 最大黑方阵
    • 面试题 16.16. 部分排序
    • Increasing Digits
    • Longest Contiguously Strictly Increasing Sublist After Deletion
    • Consecutive Wins
    • Number of Substrings with Single Character Difference
    • Bus Fare
    • Minimum Dropping Path Sum
    • Every Sublist Min Sum
    • Maximize the Number of Equivalent Pairs After Swaps
    • 0002. 两数相加
    • 0003. 无重复字符的最长子串
    • 0005. 最长回文子串
    • 0011. 盛最多水的容器
    • 0015. 三数之和
    • 0017. 电话号码的字母组合
    • 0019. 删除链表的倒数第 N 个节点
    • 0022. 括号生成
    • 0024. 两两交换链表中的节点
    • 0029. 两数相除
    • 0031. 下一个排列
    • 0033. 搜索旋转排序数组
    • 0039. 组合总和
    • 0040. 组合总和 II
    • 0046. 全排列
    • 0047. 全排列 II
    • 0048. 旋转图像
    • 0049. 字母异位词分组
    • 0050. Pow(x, n)
    • 0055. 跳跃游戏
    • 0056. 合并区间
    • 0060. 第 k 个排列
    • 0061. 旋转链表
    • 0062. 不同路径
    • 0073. 矩阵置零
    • 0075. 颜色分类
    • 0078. 子集
    • 0079. 单词搜索
    • 0080. 删除排序数组中的重复项 II
    • 0086. 分隔链表
    • 0090. 子集 II
    • 0091. 解码方法
    • 0092. 反转链表 II
    • 0094. 二叉树的中序遍历
    • 0095. 不同的二叉搜索树 II
    • 0096. 不同的二叉搜索树
    • 0098. 验证二叉搜索树
    • 0102. 二叉树的层序遍历
    • 0103. 二叉树的锯齿形层次遍历
    • 0113. 路径总和 II
    • 0129. 求根到叶子节点数字之和
    • 0130. 被围绕的区域
    • 0131. 分割回文串
    • 0139. 单词拆分
    • 0144. 二叉树的前序遍历
    • 0147. 对链表进行插入排序
    • 0150. 逆波兰表达式求值
    • 0152. 乘积最大子数组
    • 0153. 寻找旋转排序数组中的最小值
    • 0199. 二叉树的右视图
    • 0200. 岛屿数量
    • 0201. 数字范围按位与
    • 0208. 实现 Trie (前缀树)
    • 0209. 长度最小的子数组
    • 0211. 添加与搜索单词 - 数据结构设计
    • 0215. 数组中的第 K 个最大元素
    • 0220. 存在重复元素 III
    • 0221. 最大正方形
    • 0227. 基本计算器 II
    • 0229. 求众数 II
    • 0230. 二叉搜索树中第 K 小的元素
    • 0236. 二叉树的最近公共祖先
    • 0238. 除自身以外数组的乘积
    • 0240. 搜索二维矩阵 II
    • 0279. 完全平方数
    • 0309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
    • 0322. 零钱兑换
    • 0324. 摆动排序 II
    • 0328. 奇偶链表
    • 0331. 验证二叉树的前序序列化
    • 0334. 递增的三元子序列
    • 0337. 打家劫舍 III
    • 0343. 整数拆分
    • 0365. 水壶问题
    • 0378. 有序矩阵中第 K 小的元素
    • 0380. 常数时间插入、删除和获取随机元素
    • 0394. 字符串解码
    • 0416. 分割等和子集
    • 0424. 替换后的最长重复字符
    • 0438. 找到字符串中所有字母异位词
    • 0445. 两数相加 II
    • 0454. 四数相加 II
    • 0456. 132 模式
    • 0457.457. 环形数组是否存在循环
    • 0464. 我能赢么
    • 0470. 用 Rand7() 实现 Rand10
    • 0473. 火柴拼正方形
    • 0494. 目标和
    • 0516. 最长回文子序列
    • 0513. 找树左下角的值
    • 0518. 零钱兑换 II
    • 0525. 连续数组
    • 0547. 朋友圈
    • 0560. 和为 K 的子数组
    • 0609. 在系统中查找重复文件
    • 0611. 有效三角形的个数
    • 0673. 最长递增子序列的个数
    • 0686. 重复叠加字符串匹配
    • 0710. 黑名单中的随机数
    • 0714. 买卖股票的最佳时机含手续费
    • 0718. 最长重复子数组
    • 0735. 行星碰撞
    • 0754. 到达终点数字
    • 0785. 判断二分图
    • 0790. 多米诺和托米诺平铺
    • 0799. 香槟塔
    • 0801. 使序列递增的最小交换次数
    • 0816. 模糊坐标
    • 0820. 单词的压缩编码
    • 0838. 推多米诺
    • 0873. 最长的斐波那契子序列的长度
    • 0875. 爱吃香蕉的珂珂
    • 0877. 石子游戏
    • 0886. 可能的二分法
    • 0898. 子数组按位或操作
    • 0900. RLE 迭代器
    • 0911. 在线选举
    • 0912. 排序数组
    • 0932. 漂亮数组
    • 0935. 骑士拨号器
    • 0947. 移除最多的同行或同列石头
    • 0959. 由斜杠划分区域
    • 0978. 最长湍流子数组
    • 0987. 二叉树的垂序遍历
    • 1004. 最大连续 1 的个数 III
    • 1011. 在 D 天内送达包裹的能力
    • 1014. 最佳观光组合
    • 1015. 可被 K 整除的最小整数
    • 1019. 链表中的下一个更大节点
    • 1020. 飞地的数量
    • 1023. 驼峰式匹配
    • 1031. 两个非重叠子数组的最大和
    • 1043. 分隔数组以得到最大和
    • 1053. 交换一次的先前排列)
    • 1104. 二叉树寻路
    • 1129. 颜色交替的最短路径
    • 1131.绝对值表达式的最大值
    • 1138. 字母板上的路径
    • 1186. 删除一次得到子数组最大和
    • 1218. 最长定差子序列
    • 1227. 飞机座位分配概率
    • 1261. 在受污染的二叉树中查找元素
    • 1262. 可被三整除的最大和
    • 1297. 子串的最大出现次数
    • 1310. 子数组异或查询
    • 1334. 阈值距离内邻居最少的城市
    • 1371.每个元音包含偶数次的最长子字符串
    • 1381. 设计一个支持增量操作的栈
    • 1438. 绝对差不超过限制的最长连续子数组
    • 1558. 得到目标数组的最少函数调用次数
    • 1574. 删除最短的子数组使剩余数组有序
    • 1631. 最小体力消耗路径
    • 1638. 统计只差一个字符的子串数目
    • 1658. 将 x 减到 0 的最小操作数
    • 1697. 检查边长度限制的路径是否存在
    • 1737. 满足三条件之一需改变的最少字符数
    • 1770. 执行乘法运算的最大分数
    • 1793. 好子数组的最大分数
    • 1834. 单线程 CPU
    • 1899. 合并若干三元组以形成目标三元组
    • 1904. 你完成的完整对局数
    • 1906. 查询差绝对值的最小值
    • 1906. 查询差绝对值的最小值
    • 2007. 从双倍数组中还原原数组
    • 2008. 出租车的最大盈利
    • 2100. 适合打劫银行的日子
    • 2101. 引爆最多的炸弹
    • 2121. 相同元素的间隔之和
    • 2207. 字符串中最多数目的子字符串
    • 2592. 最大化数组的伟大值
    • 2593. 标记所有元素后数组的分数
    • 2817. 限制条件下元素之间的最小绝对差
    • 2865. 美丽塔 I
    • 2866. 美丽塔 II
    • 2939. 最大异或乘积
    • 3377. 使两个整数相等的数位操作
    • 3404. 统计特殊子序列的数目
    • 3428. 至多 K 个子序列的最大和最小和
  • 第六章 - 高频考题(困难)
    • LCP 20. 快速公交
    • LCP 21. 追逐游戏
    • Number Stream to Intervals
    • Triple-Inversion
    • Kth-Pair-Distance
    • Minimum-Light-Radius
    • Largest Equivalent Set of Pairs
    • Ticket-Order.md
    • Connected-Road-to-Destination
    • 0004. 寻找两个正序数组的中位数
    • 0023. 合并 K 个升序链表
    • 0025. K 个一组翻转链表
    • 0030. 串联所有单词的子串
    • 0032. 最长有效括号
    • 0042. 接雨水
    • 0052. N 皇后 II
    • 0057. 插入区间
    • 0065. 有效数字
    • 0084. 柱状图中最大的矩形
    • 0085. 最大矩形
    • 0087. 扰乱字符串
    • 0124. 二叉树中的最大路径和
    • 0128. 最长连续序列
    • 0132. 分割回文串 II
    • 0140. 单词拆分 II
    • 0145. 二叉树的后序遍历
    • 0146. LRU 缓存机制
    • 0154. 寻找旋转排序数组中的最小值 II
    • 0212. 单词搜索 II
    • 0239. 滑动窗口最大值
    • 0295. 数据流的中位数
    • 0297. 二叉树的序列化与反序列化
    • 0301. 删除无效的括号
    • 0312. 戳气球
    • 330. 按要求补齐数组
    • 0335. 路径交叉
    • 0460. LFU 缓存
    • 0472. 连接词
    • 0480. 滑动窗口中位数
    • 0483. 最小好进制
    • 0488. 祖玛游戏
    • 0493. 翻转对
    • 0664. 奇怪的打印机
    • 0679. 24 点游戏
    • 0715. Range 模块
    • 0726. 原子的数量
    • 0768. 最多能完成排序的块 II
    • 0805. 数组的均值分割
    • 0839. 相似字符串组
    • 0887. 鸡蛋掉落
    • 0895. 最大频率栈
    • 0975. 奇偶跳
    • 0995. K 连续位的最小翻转次数
    • 1032. 字符流
    • 1168. 水资源分配优化
    • 1178. 猜字谜
    • 1203. 项目管理
    • 1255. 得分最高的单词集合
    • 1345. 跳跃游戏 IV
    • 1449. 数位成本和为目标值的最大数字
    • 1494. 并行课程 II
    • 1521. 找到最接近目标值的函数值
    • 1526. 形成目标数组的子数组最少增加次数
    • 1639. 通过给定词典构造目标字符串的方案数
    • 1649. 通过指令创建有序数组
    • 1671. 得到山形数组的最少删除次数
    • 1707. 与数组中元素的最大异或值
    • 1713. 得到子序列的最少操作次数
    • 1723. 完成所有工作的最短时间
    • 1787. 使所有区间的异或结果为零
    • 1835. 所有数对按位与结果的异或和
    • 1871. 跳跃游戏 VII
    • 1872. 石子游戏 VIII
    • 1883. 准时抵达会议现场的最小跳过休息次数
    • 1970. 你能穿过矩阵的最后一天
    • 2009. 使数组连续的最少操作数
    • 2025. 分割数组的最多方案数
    • 2030. 含特定字母的最小子序列
    • 2102. 序列顺序查询
    • 2141. 同时运行 N 台电脑的最长时间
    • 2179. 统计数组中好三元组数目 👍
    • 2209. 用地毯覆盖后的最少白色砖块
    • 2281.sum-of-total-strength-of-wizards
    • 2306. 公司命名
    • 2312. 卖木头块
    • 2842. 统计一个字符串的 k 子序列美丽值最大的数目
    • 2972. 统计移除递增子数组的数目 II
    • 3027. 人员站位的方案数 II
    • 3041. 修改数组后最大化数组中的连续元素数目
    • 3082. 求出所有子序列的能量和
    • 3108. 带权图里旅途的最小代价
    • 3347. 执行操作后元素的最高频率 II
    • 3336. 最大公约数相等的子序列数量
    • 3410. 删除所有值为某个元素后的最大子数组和
  • 后序
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在本页
  • 题目地址(343. 整数拆分)
  • 题目描述
  • 前置知识
  • 公司
  • 思路
  • 第一直觉
  • 考虑优化
  • 动态规划
  • 关键点
  • 代码
  • 总结
  • 扩展

这有帮助吗?

  1. 第五章 - 高频考题(中等)

0343. 整数拆分

题目地址(343. 整数拆分)

https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/

题目描述

给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。 示例 2:

输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

前置知识

  • 递归

  • 动态规划

公司

  • 阿里

  • 腾讯

  • 百度

  • 字节

思路

希望通过这篇题解让大家知道“题解区的水有多深”,让大家知道“什么才是好的题解”。

我看了很多人的题解直接就是两句话,然后跟上代码:

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [1] * (n + 1)
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(1, i):
                dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i])
        return dp[n]

这种题解说实话,只针对那些”自己会, 然后去题解区看看有没有新的更好的解法的人“。但是大多数看题解的人是那种自己没思路,不会做的人。那么这种题解就没什么用了。

我认为好的题解应该是新手友好的,并且能够将解题人思路完整展现的题解。比如看到这个题目,我首先想到了什么(对错没有关系),然后头脑中经过怎么样的筛选将算法筛选到具体某一个或某几个。我的最终算法是如何想到的,有没有一些先行知识。

当然我也承认自己有很多题解也是直接给的答案,这对很多人来说用处不大,甚至有可能有反作用,给他们一种”我已经会了“的假象。实际上他们根本不懂解题人本身原本的想法, 也许是写题解的人觉得”这很自然“,也可能”只是为了秀技“。

Ok,下面来讲下我是如何解这道题的。

抽象

137 和 645 我贴个之前写的题解 https://leetcode-cn.com/problems/single-number/solution/zhi-chu-xian-yi-ci-de-shu-xi-lie-wei-yun-suan-by-3/

培养自己抽象问题的能力,不管是在算法上还是工程上。 务必记住这句话!

数学是一门非常抽象的学科,同时也很方便我们抽象问题。为了显得我的题解比较高级,引入一些你们看不懂的数学符号也是很有必要的(开玩笑,没有什么高级数学符号啦)。

实际上这道题可以用纯数学角度来解,但是我相信大多数人并不想看。即使你看了,大多人的感受也是“好 nb,然而并没有什么用”。

这道题抽象一下就是:

第一直觉

经过上面的抽象,我的第一直觉这可能是一个数学题,我回想了下数学知识,然后用数学法 AC 了。 数学就是这么简单平凡且枯燥。

然而如果没有数学的加持的情况下,我继续思考怎么做。我想是否可以枚举所有的情况(如图 1),然后对其求最大值(如图 2)。

问题转化为如何枚举所有的情况。经过了几秒钟的思考,我发现这是一个很明显的递归问题。 具体思考过程如下:

  • 我们将原问题抽象为 f(n)

  • 那么 f(n) 等价于 max(1 * fn(n - 1), 2 * f(n - 2), ..., (n - 1) * f(1), i * (n - i))。

i * (n - i) 容易忽略。 而 i * (n - i) 表示的其实是恰好分成两段。这是因为我们的 f 定义是至少分成两段(题目限制的)

用数学公式表示就是:

截止目前,是一点点数学 + 一点点递归,我们继续往下看。现在问题是不是就很简单啦?直接翻译图三为代码即可,我们来看下这个时候的代码:

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        if n == 2: return 1
        res = 0
        for i in range(1, n):
            res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i)))
        return res

毫无疑问,超时了。原因很简单,就是算法中包含了太多的重复计算。如果经常看我的题解的话,这句话应该不陌生。我随便截一个我之前讲过这个知识点的图。

原文链接:https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/thinkings/dynamic-programming.md

大家可以尝试自己画图理解一下。

看到这里,有没有种殊途同归的感觉呢?

考虑优化

如上,我们可以考虑使用记忆化递归的方式来解决。只是用一个 hashtable 存储计算过的值即可。

class Solution:
    @lru_cache()
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        if n == 2: return 1
        res = 0
        for i in range(1, n):
            res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i)))
        return res

为了简单起见(偷懒起见),我直接用了 lru_cache 注解, 上面的代码是可以 AC 的。

动态规划

看到这里的同学应该发现了,这个套路是不是很熟悉?下一步就是将其改造成动态规划了。

如图 4,我们的思考方式是从顶向下,这符合人们思考问题的方式。将其改造成如下图的自底向上方式就是动态规划。

现在再来看下文章开头的代码:

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [1] * (n + 1)
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(1, i):
                dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i])
        return dp[n]

dp table 存储的是图 3 中 f(n)的值。一个自然的想法是令 dp[i] 等价于 f(i)。而由于上面分析了原问题等价于 f(n),那么很自然的原问题也等价于 dp[n]。

而 dp[i]等价于 f(i),那么上面针对 f(i) 写的递归公式对 dp[i] 也是适用的,我们拿来试试。

// 关键语句
res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i)))

翻译过来就是:

dp[i] = max(dp[i], max(i * dp(n - i),i * (n - i)))

而这里的 n 是什么呢?我们说了dp是自底向下的思考方式,那么在达到 n 之前是看不到整体的n 的。因此这里的 n 实际上是 1,2,3,4... n。

自然地,我们用一层循环来生成上面一系列的 n 值。接着我们还要生成一系列的 i 值,注意到 n - i 是要大于 0 的,因此 i 只需要循环到 n - 1 即可。

思考到这里,我相信上面的代码真的是不难得出了。

关键点

  • 数学抽象

  • 递归分析

  • 记忆化递归

  • 动态规划

代码

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [1] * (n + 1)
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(1, i):
                dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i])
        return dp[n]

总结

培养自己的解题思维很重要, 不要直接看别人的答案。而是要将别人的东西变成自己的, 而要做到这一点,你就要知道“他们是怎么想到的”,“想到这点是不是有什么前置知识”,“类似题目有哪些”。

最优解通常不是一下子就想到了,这需要你在不那么优的解上摔了很多次跟头之后才能记住的。因此在你没有掌握之前,不要直接去看最优解。 在你掌握了之后,我不仅鼓励你去写最优解,还鼓励去一题多解,从多个解决思考问题。 到了那个时候, 萌新也会惊讶地呼喊“哇塞, 这题还可以这么解啊?”。 你也会低调地发出“害,解题就是这么简单平凡且枯燥。”的声音。

扩展

正如我开头所说,这种套路实在是太常见了。希望大家能够识别这种问题的本质,彻底掌握这种套路。另外我对这个套路也在我的新书《LeetCode 题解》中做了介绍,本书目前刚完成草稿的编写,如果你想要第一时间获取到我们的题解新书,那么请发送邮件到 azl397985856@gmail.com,标题著明“书籍《LeetCode 题解》预定”字样。。

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最后更新于2年前

这有帮助吗?

首先看到这道题,自然而然地先对问题进行抽象,这种抽象能力是必须的。LeetCode 实际上有很多这种穿着华丽外表的题,当你把这个衣服扒开的时候,会发现都是差不多的,甚至两个是一样的,这样的例子实际上有很多。 就本题来说,就有一个剑指 Offer 的原题和其本质一样,只是换了描述方式。类似的有力扣 137 和 645 等等,大家可以自己去归纳总结。

令: (图 1) 求: (图 2)

(图 3)

(图 4)

(图 5)

《剪绳子》