第五章 - 高频考题(中等)
1906. 查询差绝对值的最小值
0343. 整数拆分

题目地址(343. 整数拆分)

题目描述

给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。 示例 2:
输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

前置知识

  • 递归
  • 动态规划

公司

  • 阿里
  • 腾讯
  • 百度
  • 字节

思路

希望通过这篇题解让大家知道“题解区的水有多深”,让大家知道“什么才是好的题解”。
我看了很多人的题解直接就是两句话,然后跟上代码:
1
class Solution:
2
def integerBreak(self, n: int) -> int:
3
dp = [1] * (n + 1)
4
for i in range(3, n + 1):
5
for j in range(1, i):
6
dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i])
7
return dp[n]
Copied!
这种题解说实话,只针对那些”自己会, 然后去题解区看看有没有新的更好的解法的人“。但是大多数看题解的人是那种自己没思路,不会做的人。那么这种题解就没什么用了。
我认为好的题解应该是新手友好的,并且能够将解题人思路完整展现的题解。比如看到这个题目,我首先想到了什么(对错没有关系),然后头脑中经过怎么样的筛选将算法筛选到具体某一个或某几个。我的最终算法是如何想到的,有没有一些先行知识。
当然我也承认自己有很多题解也是直接给的答案,这对很多人来说用处不大,甚至有可能有反作用,给他们一种”我已经会了“的假象。实际上他们根本不懂解题人本身原本的想法, 也许是写题解的人觉得”这很自然“,也可能”只是为了秀技“。
Ok,下面来讲下我是如何解这道题的

抽象

首先看到这道题,自然而然地先对问题进行抽象,这种抽象能力是必须的。LeetCode 实际上有很多这种穿着华丽外表的题,当你把这个衣服扒开的时候,会发现都是差不多的,甚至两个是一样的,这样的例子实际上有很多。 就本题来说,就有一个剑指 Offer 的原题《剪绳子》和其本质一样,只是换了描述方式。类似的有力扣 137 和 645 等等,大家可以自己去归纳总结。
培养自己抽象问题的能力,不管是在算法上还是工程上。 务必记住这句话!
数学是一门非常抽象的学科,同时也很方便我们抽象问题。为了显得我的题解比较高级,引入一些你们看不懂的数学符号也是很有必要的(开玩笑,没有什么高级数学符号啦)。
实际上这道题可以用纯数学角度来解,但是我相信大多数人并不想看。即使你看了,大多人的感受也是“好 nb,然而并没有什么用”。
这道题抽象一下就是:
令:
(图 1) 求:
(图 2)

第一直觉

经过上面的抽象,我的第一直觉这可能是一个数学题,我回想了下数学知识,然后用数学法 AC 了。 数学就是这么简单平凡且枯燥。
然而如果没有数学的加持的情况下,我继续思考怎么做。我想是否可以枚举所有的情况(如图 1),然后对其求最大值(如图 2)。
问题转化为如何枚举所有的情况。经过了几秒钟的思考,我发现这是一个很明显的递归问题。 具体思考过程如下:
  • 我们将原问题抽象为 f(n)
  • 那么 f(n) 等价于 max(1 * fn(n - 1), 2 * f(n - 2), ..., (n - 1) * f(1), i * (n - i))。
i * (n - i) 容易忽略。 而 i * (n - i) 表示的其实是恰好分成两段。这是因为我们的 f 定义是至少分成两段(题目限制的)
用数学公式表示就是:
(图 3)
截止目前,是一点点数学 + 一点点递归,我们继续往下看。现在问题是不是就很简单啦?直接翻译图三为代码即可,我们来看下这个时候的代码:
1
class Solution:
2
def integerBreak(self, n: int) -> int:
3
if n == 2: return 1
4
res = 0
5
for i in range(1, n):
6
res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i)))
7
return res
Copied!
毫无疑问,超时了。原因很简单,就是算法中包含了太多的重复计算。如果经常看我的题解的话,这句话应该不陌生。我随便截一个我之前讲过这个知识点的图。
(图 4)
大家可以尝试自己画图理解一下。
看到这里,有没有种殊途同归的感觉呢?

考虑优化

如上,我们可以考虑使用记忆化递归的方式来解决。只是用一个 hashtable 存储计算过的值即可。
1
class Solution:
2
@lru_cache()
3
def integerBreak(self, n: int) -> int:
4
if n == 2: return 1
5
res = 0
6
for i in range(1, n):
7
res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i)))
8
return res
Copied!
为了简单起见(偷懒起见),我直接用了 lru_cache 注解, 上面的代码是可以 AC 的。

动态规划

看到这里的同学应该发现了,这个套路是不是很熟悉?下一步就是将其改造成动态规划了。
如图 4,我们的思考方式是从顶向下,这符合人们思考问题的方式。将其改造成如下图的自底向上方式就是动态规划。
(图 5)
现在再来看下文章开头的代码:
1
class Solution:
2
def integerBreak(self, n: int) -> int:
3
dp = [1] * (n + 1)
4
for i in range(3, n + 1):
5
for j in range(1, i):
6
dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i])
7
return dp[n]
Copied!
dp table 存储的是图 3 中 f(n)的值。一个自然的想法是令 dp[i] 等价于 f(i)。而由于上面分析了原问题等价于 f(n),那么很自然的原问题也等价于 dp[n]。
而 dp[i]等价于 f(i),那么上面针对 f(i) 写的递归公式对 dp[i] 也是适用的,我们拿来试试。
1
// 关键语句
2
res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i)))
Copied!
翻译过来就是:
1
dp[i] = max(dp[i], max(i * dp(n - i),i * (n - i)))
Copied!
而这里的 n 是什么呢?我们说了dp是自底向下的思考方式,那么在达到 n 之前是看不到整体的n 的。因此这里的 n 实际上是 1,2,3,4... n。
自然地,我们用一层循环来生成上面一系列的 n 值。接着我们还要生成一系列的 i 值,注意到 n - i 是要大于 0 的,因此 i 只需要循环到 n - 1 即可。
思考到这里,我相信上面的代码真的是不难得出了。

关键点

  • 数学抽象
  • 递归分析
  • 记忆化递归
  • 动态规划

代码

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class Solution:
2
def integerBreak(self, n: int) -> int:
3
dp = [1] * (n + 1)
4
for i in range(3, n + 1):
5
for j in range(1, i):
6
dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i])
7
return dp[n]
Copied!

总结

培养自己的解题思维很重要, 不要直接看别人的答案。而是要将别人的东西变成自己的, 而要做到这一点,你就要知道“他们是怎么想到的”,“想到这点是不是有什么前置知识”,“类似题目有哪些”。
最优解通常不是一下子就想到了,这需要你在不那么优的解上摔了很多次跟头之后才能记住的。因此在你没有掌握之前,不要直接去看最优解。 在你掌握了之后,我不仅鼓励你去写最优解,还鼓励去一题多解,从多个解决思考问题。 到了那个时候, 萌新也会惊讶地呼喊“哇塞, 这题还可以这么解啊?”。 你也会低调地发出“害,解题就是这么简单平凡且枯燥。”的声音。

扩展

正如我开头所说,这种套路实在是太常见了。希望大家能够识别这种问题的本质,彻底掌握这种套路。另外我对这个套路也在我的新书《LeetCode 题解》中做了介绍,本书目前刚完成草稿的编写,如果你想要第一时间获取到我们的题解新书,那么请发送邮件到 [email protected],标题著明“书籍《LeetCode 题解》预定”字样。。