# 0768. 最多能完成排序的块 II ### 题目地址(768. 最多能完成排序的块 II) ### 题目描述 ``` 这个问题和“最多能完成排序的块”相似，但给定数组中的元素可以重复，输入数组最大长度为2000，其中的元素最大为10**8。 arr是一个可能包含重复元素的整数数组，我们将这个数组分割成几个“块”，并将这些块分别进行排序。之后再连接起来，使得连接的结果和按升序排序后的原数组相同。 我们最多能将数组分成多少块？ 示例 1: 输入: arr = [5,4,3,2,1] 输出: 1 解释: 将数组分成2块或者更多块，都无法得到所需的结果。 例如，分成 [5, 4], [3, 2, 1] 的结果是 [4, 5, 1, 2, 3]，这不是有序的数组。 示例 2: 输入: arr = [2,1,3,4,4] 输出: 4 解释: 我们可以把它分成两块，例如 [2, 1], [3, 4, 4]。 然而，分成 [2, 1], [3], [4], [4] 可以得到最多的块数。 注意: arr的长度在[1, 2000]之间。 arr[i]的大小在[0, 10**8]之间。 ``` ### 前置知识 * 栈 * 队列 ### 计数 #### 思路 这里可以使用类似计数排序的技巧来完成。以题目给的 \[2,1,3,4,4] 来说： ![](https://p.ipic.vip/9s7x67.jpg) 可以先计数，比如用一个数组来计数，其中数组的索引表示值，数组的值表示其对应的出现次数。比如上面，除了 4 出现了两次，其他均出现一次，因此 count 就是 \[0,1,1,1,2]。 ![](https://p.ipic.vip/ejv08v.jpg) 其中 counts\[4] 就是 2，表示的就是 4 这个值出现了两次。 > 实际上 count 最开始的 0 是没有必要的，不过这样方便理解罢了。 如果我们使用数组来计数，那么空间复杂度就是 $upper - lower$，其中 upper 是 arr 的最大值， lower 是 arr 的最小值。 计数完毕之后， 我们要做的是比较当前的 arr 和最终的 arr（已经有序的 arr） 的计数数组的关系即可。 这里有一个关键点： **如果两个数组的计数信息是一致的，那么两个数组排序后的结果也是一致的。** 如果你理解计数排序，应该明白我的意思。不明白也没有关系， 我稍微解释一下你就懂了。 如果我把一个数组打乱，然后排序，得到的数组一定是确定的，即不管你怎么打乱排好序都是一个确定的有序序列。这个论点的正确性是毋庸置疑的。而实际上，一个数组无论怎么打乱，其计数结果也是确定的，这也是毋庸置疑的。反之，如果是两个排序后不同的数组，打乱排序后的结果一定是不同的，计数也是同理。 ![](https://p.ipic.vip/i9mrda.jpg) （这两个数组排序后的结果以及计数信息是一致的） 因此我们的算法有了： * 先排序 arr,不妨记排序后的 arr 为 sorted\_arr * 从左到右遍历 arr，比如遍历到了索引为 i 的元素，其中 0 <= i < len(arr) * 如果 arr\[:i+1] 的计数信息和 sorted\_arr\[:i+1] 的计数信息一致，那么说明可以**贪心地**切分，否则一定不可以分割。 > arr\[:i+1] 指的是 arr 的切片，从索引 0 到 索引 i 的一个切片。 #### 关键点 * 计数 #### 代码 * 语言支持：Python Python Code: ```py class Solution(object): def maxChunksToSorted(self, arr): count_a = collections.defaultdict(int) count_b = collections.defaultdict(int) ans = 0 for a, b in zip(arr, sorted(arr)): count_a[a] += 1 count_b[b] += 1 if count_a == count_b: ans += 1 return ans ``` **复杂度分析** * 时间复杂度：内部 count\_a 和 count\_b 的比较时间复杂度也是 $O(N)$，因此总的时间复杂度为 $O(N^2)$，其中 N 为数组长度。 * 空间复杂度：使用了两个 counter，其大小都是 N，因此空间复杂度为 $O(N)$，其中 N 为数组长度。 ### 优化的计数 #### 思路 实际上，我们不需要两个 counter ，而是使用一个 counter 来记录 arr 和 sorted\_arr 的 diff 即可。但是这也仅仅是空间上的一个常数优化而已。 我们还可以在时间上进一步优化， 去除内部 count\_a 和 count\_b 的比较，这样算法的瓶颈就是排序了。而去除的关键点就是我们上面提到的**记录 diff**，具体参考下方代码。 #### 关键点 * 计数 * count 的边界条件 #### 代码 * 语言支持：Python Python Code: ```py class Solution(object): class Solution(object): def maxChunksToSorted(self, arr): count = collections.defaultdict(int) non_zero_cnt = 0 ans = 0 for a, b in zip(arr, sorted(arr)): if count[a] == -1: non_zero_cnt -= 1 if count[a] == 0: non_zero_cnt += 1 count[a] += 1 if count[b] == 1: non_zero_cnt -= 1 if count[b] == 0: non_zero_cnt += 1 count[b] -= 1 if non_zero_cnt == 0: ans += 1 return ans ``` **复杂度分析** * 时间复杂度：瓶颈在于排序，因此时间复杂度为 $O(NlogN)$，其中 N 为数组长度。 * 空间复杂度：使用了一个 counter，其大小是 N，因此空间复杂度为 $O(N)$，其中 N 为数组长度。 ### 单调栈 #### 思路 通过题目给的三个例子，应该可以发现一些端倪。 * 如果 arr 是非递减的，那么答案为 1。 * 如果 arr 是非递增的，那么答案是 arr 的长度。 并且由于**只有分的块内部可以排序**，块与块之间的相对位置是不能变的。因此**直观上**我们的核心其实找到从左到右开始不减少（增加或者不变）的地方并分块。 比如对于 \[5,4,3,2,1] 来说： * 5 的下一个是 4，比 5 小，因此如果分块，那么永远不能变成\[1,2,3,4,5]。 * 同理，4 的下一个是 3，比 4 小，因此如果分块，那么永远不能变成\[1,2,3,4,5]。 * 。。。 最后就是不能只能是整体是一个大块，我们返回 1 即可。 我们继续分析一个稍微复杂一点的，即题目给的 \[2,1,3,4,4]。 * 2 的下一个是 1，比 2 小，不能分块。 * 1 的下一个是 3，比 1 大，可以分块。 * 3 的下一个是 4，比 3 大，可以分块。 * 4 的下一个是 4，一样大，可以分块。 因此答案就是 4，分别是： * \[2,1] * \[3] * \[3] * \[4] 然而上面的算法步骤是不正确的，原因在于只考虑局部，没有考虑整体，比如 **\[4,2,2,1,1]** 这样的测试用例，实际上只应该返回 1，原因是后面碰得到了 1，使得前面不应该分块。 因为把数组分成数个块，分别排序每个块后，组合所有的块就跟整个数组排序的结果一样，这就意味着后面块中的最小值一定大于前面块的最大值,这样才能保证分块有。因此直观上，我们又会觉得是不是”只要后面有较小值，那么前面大于它的都应该在一个块里面“，实际上的确如此。 有没有注意到我们一直在找下一个比当前小的元素？这就是一个信号，使用单调递增栈即可以空间换时间的方式解决。对单调栈不熟悉的小伙伴可以看下我的[单调栈专题](https://lucifer.ren/blog/2020/11/03/monotone-stack/) 不过这还不够，我们要把思路逆转！ ![](https://p.ipic.vip/c5fts0.jpg) > 这是《逆转裁判》 中经典的台词， 主角在深处绝境的时候，会突然冒出这句话，从而逆转思维，寻求突破口。 这里的话，我们将思路逆转，不是分割区块，而是**融合区块**。 比如 \[2,1,3,4,4]，遍历到 1 的时候会发现 1 比 2 小，因此 2， 1 需要在一块，我们可以将 2 和 1 融合，并**重新压回栈**。那么融合成 1 还是 2 呢？答案是 2，因为 2 是瓶颈，这提示我们可以用一个递增栈来完成。 > 为什么 2 是瓶颈？因此我们需要确保当前值一定比前面所有的值的最大值还要大。因此只需要保留最大值就好了，最大值就是瓶颈。而 1 和 2 的最大值是 2，因此 2 就是瓶颈。 因此本质上**栈存储的每一个元素就代表一个块，而栈里面的每一个元素的值就是块的最大值**。 以 \[2,1,3,4,4] 来说， stack 的变化过程大概是： * \[2] * 1 被融合了，保持 \[2] 不变 * \[2,3] * \[2,3,4] * \[2,3,4,4] 简单来说，就是**将一个减序列压缩合并成最该序列的最大的值**。 因此最终返回 stack 的长度就可以了。 具体算法参考代码区，注释很详细。 #### 代码 * 语言支持：Python，CPP，Java，JS, Go, PHP Python Code: ```py class Solution: def maxChunksToSorted(self, A: [int]) -> int: stack = [] for a in A: # 遇到一个比栈顶小的元素，而前面的块不应该有比 a 小的 # 而栈中每一个元素都是一个块，并且栈的存的是块的最大值，因此栈中比 a 小的值都需要 pop 出来 if stack and stack[-1] > a: # 我们需要将融合后的区块的最大值重新放回栈 # 而 stack 是递增的，因此 stack[-1] 是最大的 cur = stack[-1] # 维持栈的单调递增 while stack and stack[-1] > a: stack.pop() stack.append(cur) else: stack.append(a) # 栈存的是块信息，因此栈的大小就是块的数量 return len(stack) ``` CPP Code: ```cpp class Solution { public: int maxChunksToSorted(vector& arr) { stack stack; for(int i =0;iarr[i]){ // 我们需要将融合后的区块的最大值重新放回栈 // 而 stack 是递增的，因此 stack[-1] 是最大的 int cur = stack.top(); // 维持栈的单调递增 while(!stack.empty()&&stack.top()>arr[i]){ sstackta.pop(); } stack.push(cur); }else{ stack.push(arr[i]); } } // 栈存的是块信息，因此栈的大小就是块的数量 return stack.size(); } }; ``` JAVA Code: ```java class Solution { public int maxChunksToSorted(int[] arr) { LinkedList stack = new LinkedList(); for (int num : arr) { // 遇到一个比栈顶小的元素，而前面的块不应该有比 a 小的 // 而栈中每一个元素都是一个块，并且栈的存的是块的最大值，因此栈中比 a 小的值都需要 pop 出来 if (!stack.isEmpty() && num < stack.getLast()) { // 我们需要将融合后的区块的最大值重新放回栈 // 而 stack 是递增的，因此 stack[-1] 是最大的 int cur = stack.removeLast(); // 维持栈的单调递增 while (!stack.isEmpty() && num < stack.getLast()) { stack.removeLast(); } stack.addLast(cur); } else { stack.addLast(num); } } // 栈存的是块信息，因此栈的大小就是块的数量 return stack.size(); } } ``` JS Code: ```js var maxChunksToSorted = function (arr) { const stack = []; for (let i = 0; i < arr.length; i++) { a = arr[i]; if (stack.length > 0 && stack[stack.length - 1] > a) { const cur = stack[stack.length - 1]; while (stack && stack[stack.length - 1] > a) stack.pop(); stack.push(cur); } else { stack.push(a); } } return stack.length; }; ``` Go Code: ```go func maxChunksToSorted(arr []int) int { var stack []int // 单调递增栈, stack[-1] 栈顶 for _, a := range arr { // 遇到一个比栈顶小的元素，而前面的块不应该有比 a 小的 // 而栈中每一个元素都是一个块，并且栈的存的是块的最大值，因此栈中比 a 小的值都需要 pop 出来 if len(stack) > 0 && stack[len(stack)-1] > a { // 我们需要将融合后的区块的最大值重新放回栈 // 而 stack 是递增的，因此 stack[-1] 是最大的 cur := stack[len(stack)-1] // 维持栈的单调递增 for len(stack) > 0 && stack[len(stack)-1] > a { stack = stack[:len(stack)-1] // pop } stack = append(stack, cur) // push } else { stack = append(stack, a) // push } } // 栈存的是块信息，因此栈的大小就是块的数量 return len(stack) } ``` PHP Code: ```php class Solution { /** * @param Integer[] $arr * @return Integer */ function maxChunksToSorted($arr) { $stack = []; // 单调递增栈, stack[-1] 栈顶 foreach ($arr as $a) { // 遇到一个比栈顶小的元素，而前面的块不应该有比 a 小的 // 而栈中每一个元素都是一个块，并且栈的存的是块的最大值，因此栈中比 a 小的值都需要 pop 出来 if ($stack && $stack[count($stack) - 1] > $a) { $cur = $stack[count($stack) - 1]; // 维持栈的单调递增 while ($stack && $stack[count($stack) - 1] > $a) array_pop($stack); array_push($stack, $cur); } else array_push($stack, $a); } // 栈存的是块信息，因此栈的大小就是块的数量 return count($stack); } } ``` **复杂度分析** * 时间复杂度：$O(N)$，其中 N 为数组长度。 * 空间复杂度：$O(N)$，其中 N 为数组长度。 ### 总结 实际上本题的单调栈思路和 [【力扣加加】从排序到线性扫描(57. 插入区间)](https://leetcode-cn.com/problems/insert-interval/solution/li-kou-jia-jia-cong-pai-xu-dao-xian-xing-sao-miao-/) 以及 [394. 字符串解码](https://github.com/leetcode-pp/91alg-2/blob/master/solution/basic/d4.394.decode-string.md) 都有部分相似，大家可以结合起来理解。 融合与[【力扣加加】从排序到线性扫描(57. 插入区间)](https://leetcode-cn.com/problems/insert-interval/solution/li-kou-jia-jia-cong-pai-xu-dao-xian-xing-sao-miao-/) 相似， 重新压栈和 [394. 字符串解码](https://github.com/leetcode-pp/91alg-2/blob/master/solution/basic/d4.394.decode-string.md) 相似。 大家对此有何看法，欢迎给我留言，我有时间都会一一查看回答。更多算法套路可以访问我的 LeetCode 题解仓库： 。 目前已经 37K star 啦。 大家也可以关注我的公众号《力扣加加》带你啃下算法这块硬骨头。