1723. 完成所有工作的最短时间

题目地址(1723. 完成所有工作的最短时间)

https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-time-to-finish-all-jobs/

题目描述

给你一个整数数组 jobs ，其中 jobs[i] 是完成第 i 项工作要花费的时间。

请你将这些工作分配给 k 位工人。所有工作都应该分配给工人，且每项工作只能分配给一位工人。工人的 工作时间 是完成分配给他们的所有工作花费时间的总和。请你设计一套最佳的工作分配方案，使工人的 最大工作时间 得以 最小化 。

返回分配方案中尽可能 最小 的 最大工作时间 。

 

示例 1：

输入：jobs = [3,2,3], k = 3
输出：3
解释：给每位工人分配一项工作，最大工作时间是 3 。


示例 2：

输入：jobs = [1,2,4,7,8], k = 2
输出：11
解释：按下述方式分配工作：
1 号工人：1、2、8（工作时间 = 1 + 2 + 8 = 11）
2 号工人：4、7（工作时间 = 4 + 7 = 11）
最大工作时间是 11 。

 

提示：

1 <= k <= jobs.length <= 12
1 <= jobs[i] <= 107

前置知识

位运算
回溯
剪枝
子集枚举

公司

暂无

方法一：二分 + 回溯 + 贪心 + 剪枝

思路

题目的解空间不难得出为 [max(jobs), sum(jobs)]。

因此可以使用能力检测二分来做。不熟悉能力检测二分的可以先看下我的二分专题，接下来套用最左二分模板即可。

需要注意的是能力检测 部分，我们需要枚举所有的情况，而不是像大多数能力检测二分那样直接一次遍历，这是因为这道题可以不连续 地选择多个 job。这提示我们使用回溯来解决。

初始化一个长度为 k 的 workloads， workloads[i] 表示第 i 个工人👷目前的工时。如果第 i 个工人可以做，就贪心地进行选择。否则，我们尝试下一个 job。

除此之外，我们需要对算法进行剪枝，否则无法通过所有的测试用例。

剪枝 1：优先选择时间长的任务，这样在很多情况下可以有效减少递归的深度，尤其是短任务较多的情况。
剪枝 2：如果某一个任务太大，直接超过了 limit，我们可以提前退出，因此不可能存在一种可行解。

关键点

剪枝（否则会超时）

代码

语言支持：Python3

class Solution:
    def minimumTimeRequired(self, jobs: List[int], k: int) -> int:
        def backtrack(pos, workloads, limit):
            if pos >= len(jobs): return True
            for i in range(len(workloads)):
                workload = workloads[i]
                if jobs[pos] + workload <= limit:
                    workloads[i] += jobs[pos]
                    if backtrack(pos + 1, workloads, limit): return True
                    workloads[i] -= jobs[pos]
                # 剪枝
                if workload == 0:
                    return False
            return False
        def possible(limit):
            return backtrack(0, [0] * k, limit)
        # 剪枝
        jobs.sort(reverse=True)
        l, r = jobs[0], sum(jobs)
        while l <= r:
            mid = (l + r) // 2
            if possible(mid):
                r = mid - 1
            else:
                l = mid + 1
        return l

方法二：状压 DP

思路

回溯和状压 DP 很多时候会一起出现。

这道题的数据范围提示我可能使用状压 DP，因此数据范围很小。通常这种情况，就是直接对数据范围很小的那个变量做状态压缩，用 n 位的数字来表示选取情况，并且一般 n 不会超过 20。

定义 dp[i][j] 表示使用 i 个工人，完成任务情况如 j 所表示的最小的最大工作时间。

其中 j 就是一个 n 位的二进制数，其中 n 为 jobs 长度。数字上第 k 二进制位为 1 表示选取任务 k，否则表示不选取任务 k。

那么转移方程为：

其中 sub 是 j 的子集， sum(sub) 指的是任务情况如 sub 二进制表示那样的完成的总时间。

因此我们必须枚举所有 j 的子集 sub。这里枚举子集可进行子集枚举优化策略，具体可看我的 91 天学算法的《基础篇 - 枚举》部分的讲义。

提示：

这种子集枚举的题目，推荐使用 C++。如果使用 Python，则很可能会超时。

代码

语言支持：C++，Python3

C++ Code:


class Solution {
public:
    int minimumTimeRequired(vector<int>& jobs, int k) {
        int n = jobs.size();
        vector<int> sum(1 << n);
        for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                if (i & (1 << j)) {
                    sum[i] += jobs[j];
                }
            }
        }

        vector<vector<int>> dp(k, vector<int>(1 << n));
        for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {
            dp[0][i] = sum[i];
        }

        for (int i = 1; i < k; i++) {
           // 二进制子集枚举优化
            for (int j = 0; j < (1 << n); j++) {
                dp[i][j] = INT_MAX;
                for (int x = j; x; x = (x - 1) & j) {
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i - 1][j - x], sum[x]));
                }
            }
        }
        return dp[k - 1][(1 << n) - 1];
    }
};

Python3 Code（超时）:

class Solution:
    def minimumTimeRequired(self, jobs: List[int], k: int) -> int:
        n = len(jobs)
        sum_jobs = [0] * (1 << n)
        dp = [[float("inf") for _ in range(1 << n)] for _ in range(k)]

        for i in range(1 << n):
            for j in range(n):
                if i & 1 << j:
                    sum_jobs[i] += jobs[j]

        for i in range(1 << n):
            dp[0][i] = sum_jobs[i]

        for i in range(1, k):
            #  二进制子集枚举优化
            for j in range(1 << n):
                sub = j
                while sub != 0:
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i - 1][j - sub], sum_jobs[sub]))
                    sub = j & (sub - 1)
        return dp[-1][-1]

复杂度分析

令 n 为数组长度。

时间复杂度：$O(2^n)$
空间复杂度：$O(2^n)$

此题解由力扣刷题插件自动生成。

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