第五章 - 高频考题(中等)
1906. 查询差绝对值的最小值
0799. 香槟塔

题目地址(799. 香槟塔)

题目描述

1
我们把玻璃杯摆成金字塔的形状,其中第一层有1个玻璃杯,第二层有2个,依次类推到第100层,每个玻璃杯(250ml)将盛有香槟。
2
3
从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟,当顶层的杯子满了,任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了,就会等流量的流向它们左右两边的杯子,依次类推。(当最底层的玻璃杯满了,香槟会流到地板上)
4
5
例如,在倾倒一杯香槟后,最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后,第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后,第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后,第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟,他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟,如下图所示。
6
7
现在当倾倒了非负整数杯香槟后,返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例(i 和 j都从0开始)。
8
9
10
11
示例 1:
12
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
13
输出: 0.0
14
解释: 我们在顶层(下标是(0,0))倒了一杯香槟后,没有溢出,因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。
15
16
示例 2:
17
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
18
输出: 0.5
19
解释: 我们在顶层(下标是(0,0)倒了两杯香槟后,有一杯量的香槟将从顶层溢出,位于(1,0)的玻璃杯和(1,1)的玻璃杯平分了这一杯香槟,所以每个玻璃杯有一半的香槟。
20
21
22
注意:
23
24
poured 的范围[0, 10 ^ 9]。
25
query_glass 和query_row 的范围 [0, 99]。
Copied!

前置知识

  • 动态规划
  • 杨辉三角

公司

  • 暂无

思路

这道题和杨辉三角问题类似,实现的基本思路都是从上到下模拟。如果大家对杨辉三角问题不熟悉,建议先看下杨辉三角。杨辉三角也是动态规划中很经典的问题。
由题目可知杯子的数目是第一行一个,第二行两个。。。第 i 行 i 个 (i >= 1)。因此建立一个二维数组即可。为了简单,我们可以建立一个大小为 R R 的二维矩阵 A ,其中 R 为香槟塔的高度。虽然这样的建立方式会造成一半的空间浪费。但是题目的条件是 query_glass 和 query_row 的范围 [0, 99],因此即便如此问题也不大。当然你也可以直接开辟一个 100 100 的矩阵。
(用 R * R 的二维矩阵 A 进行模拟,如图虚线的部分是没有被使用的空间,也就是”浪费“的空间)
接下来,我们只需要按照题目描述进行模拟即可。具体来说:
  • 先将第一行第一列的杯子注满香槟。即 A[0][0] = poured
  • 接下来从上到下,从左到右进行模拟。
  • 模拟的过程就是
    1. 1.
      计算溢出的容量
    2. 2.
      将溢出的容量平分到下一层的两个酒杯中。(只需要平分到下一层即可,不用关心下一层满之后的溢出问题,因为之后会考虑,下面的代码也会体现这一点)

关键点

  • 不必模拟多步,而是只模拟一次即可

代码

  • 语言支持:Python3
Python3 Code:
1
class Solution:
2
def champagneTower(self, poured, R, C):
3
# 这种初始化方式有一半空间是浪费的
4
A = [[0] * (R+1) for _ in range(R+1)]
5
A[0][0] = poured
6
# 从上到下,从左到右模拟每一行每一列
7
for i in range(R + 1):
8
for j in range(i+1):
9
overflow = (A[i][j] - 1.0) / 2.0
10
# 不必模拟多步,而是只模拟一次即可。也就是说我们无需溢出到下一层之后,下一层的杯子容量大于 1,因为我们后面处理即可,这和直觉上或许有所不一样。体现在代码上只需要 if 即可,无需 while
11
if overflow > 0 and i < R and j <= C:
12
A[i+1][j] += overflow
13
if j+1<=C: A[i+1][j+1] += overflow
14
15
return min(1, A[R][C]) # 最后的结果如果大于 1,说明流到地板上了,需要和 1 取最小值。
Copied!
复杂度分析
  • 时间复杂度:$O(R^2)$
  • 空间复杂度:$O(R^2)$
此题解由 力扣刷题插件 自动生成。
力扣的小伙伴可以关注我,这样就会第一时间收到我的动态啦~
以上就是本文的全部内容了。大家对此有何看法,欢迎给我留言,我有时间都会一一查看回答。更多算法套路可以访问我的 LeetCode 题解仓库:https://github.com/azl397985856/leetcode 。 目前已经 40K star 啦。大家也可以关注我的公众号《力扣加加》带你啃下算法这块硬骨头。
关注公众号力扣加加,努力用清晰直白的语言还原解题思路,并且有大量图解,手把手教你识别套路,高效刷题。