1649. 通过指令创建有序数组
https://leetcode-cn.com/problems/create-sorted-array-through-instructions/
给你一个整数数组 instructions ，你需要根据 instructions 中的元素创建一个有序数组。一开始你有一个空的数组 nums ，你需要 从左到右 遍历 instructions 中的元素，将它们依次插入 nums 数组中。每一次插入操作的 代价 是以下两者的 较小值 ：
nums 中 严格小于 instructions[i] 的数字数目。
nums 中 严格大于 instructions[i] 的数字数目。
比方说，如果要将 3 插入到 nums = [1,2,3,5] ，那么插入操作的 代价 为 min(2, 1) (元素 1 和 2 小于 3 ，元素 5 大于 3 ），插入后 nums 变成 [1,2,3,3,5] 。
请你返回将 instructions 中所有元素依次插入 nums 后的 总最小代价 。由于答案会很大，请将它对 109 + 7 取余 后返回。
示例 1：
输入：instructions = [1,5,6,2]
输出：1
解释：一开始 nums = [] 。
插入 1 ，代价为 min(0, 0) = 0 ，现在 nums = [1] 。
插入 5 ，代价为 min(1, 0) = 0 ，现在 nums = [1,5] 。
插入 6 ，代价为 min(2, 0) = 0 ，现在 nums = [1,5,6] 。
插入 2 ，代价为 min(1, 2) = 1 ，现在 nums = [1,2,5,6] 。
总代价为 0 + 0 + 0 + 1 = 1 。
示例 2:
输入：instructions = [1,2,3,6,5,4]
输出：3
解释：一开始 nums = [] 。
插入 1 ，代价为 min(0, 0) = 0 ，现在 nums = [1] 。
插入 2 ，代价为 min(1, 0) = 0 ，现在 nums = [1,2] 。
插入 3 ，代价为 min(2, 0) = 0 ，现在 nums = [1,2,3] 。
插入 6 ，代价为 min(3, 0) = 0 ，现在 nums = [1,2,3,6] 。
插入 5 ，代价为 min(3, 1) = 1 ，现在 nums = [1,2,3,5,6] 。
插入 4 ，代价为 min(3, 2) = 2 ，现在 nums = [1,2,3,4,5,6] 。
总代价为 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 2 = 3 。
示例 3：
输入：instructions = [1,3,3,3,2,4,2,1,2]
输出：4
解释：一开始 nums = [] 。
插入 1 ，代价为 min(0, 0) = 0 ，现在 nums = [1] 。
插入 3 ，代价为 min(1, 0) = 0 ，现在 nums = [1,3] 。
插入 3 ，代价为 min(1, 0) = 0 ，现在 nums = [1,3,3] 。
插入 3 ，代价为 min(1, 0) = 0 ，现在 nums = [1,3,3,3] 。
插入 2 ，代价为 min(1, 3) = 1 ，现在 nums = [1,2,3,3,3] 。
插入 4 ，代价为 min(5, 0) = 0 ，现在 nums = [1,2,3,3,3,4] 。
插入 2 ，代价为 min(1, 4) = 1 ，现在 nums = [1,2,2,3,3,3,4] 。
插入 1 ，代价为 min(0, 6) = 0 ，现在 nums = [1,1,2,2,3,3,3,4] 。
插入 2 ，代价为 min(2, 4) = 2 ，现在 nums = [1,1,2,2,2,3,3,3,4] 。
总代价为 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 2 = 4 。
提示：
1 <= instructions.length <= 105
1 <= instructions[i] <= 105
- 暂无
二分法的思路比较简单，直接模拟插入即可。每次只需要保证插入之后还是有序的，这样就可以通过二分查找，计算出严格大于 和 严格小于 x 的数目了。
- 使用
bisect.bisect_left(nums, instruction)可以计算出 instruction 如果插入到 nums ，instruction 在 nums 中的索引是。 - 使用
bisect.bisect_right(nums, instruction)和 bisect_left 类似，只不过对于 nums 已经存在 instruction 了， bisect_left 会尝试插入到其左侧，bisect_right 则会尝试插入到其右侧。
根据 bisect_left 和 bisect_right，我们就可计算出 严格大于 和 严格小于 instruction 的数目了。接下来，我们只需要模拟插入即可。
代码支持：Python3
Python3 Code:
class Solution:
def createSortedArray(self, instructions: List[int]) -> int:
mod = 10 ** 9 + 7
nums = []
ans = 0
# eg: 1 2 2 3
for instruction in instructions:
l = bisect.bisect_left(nums, instruction)
r = bisect.bisect_right(nums, instruction)
nums[l:l] = [instruction]
ans = (ans + min(l, len(nums) - r - 1)) % mod
return ans
复杂度分析 令 N 为数组长度。
- 时间复杂度：遍历 instructions 需要 $N$ 次，每次都需要插入数据， 由于插入数组的时间复杂度是 $O(N)$。 因此总的时间复杂度为 $O(N^2)$
- 空间复杂度：$O(N)$
需要注意的是，如下代码会超时：
nums.insert(l, instruction)
也就是说必须使用切片语法才可以：
nums[l:l] = [instruction]
我们可以维护一个 [lower,upper] 的一个线段树。线段树支持的操作：
- query(l, r): 查询 [l, r] 范围内的数的个数
- update(x): 将 x 更新到线段树
因此我们的目标其实就是 min(query(1, instruction - 1), query(instruction + 1, upper))，其中 upper 为 instructions 的最大树。
核心代码：
upper = max(instructions)
# 初始化线段树
seg = SegmentTree(upper, 1)
for instruction in instructions:
# 进行两次查询
l = seg.queryCount(1, instruction - 1)
r = seg.queryCount(instruction + 1, upper)
ans = (ans + min(l, r)) % mod
# 进行一次更新
seg.updateCount(instruction)
return ans
代码支持：Python3
Python3 Code:
class SegmentTree:
def __init__(self, upper, lower):
"""
data:传入的数组
"""
self.lower = lower
self.upper = upper
# 申请4倍data长度的空间来存线段树节点
self.tree = [0] * (4 * (upper - lower + 1)) # 索引i的左孩子索引为2i+1，右孩子为2i+2
# 本质就是一个自底向上的更新过程
# 因此可以使用后序遍历，即在函数返回的时候更新父节点。
def update(self, tree_index, l, r, index):
"""
tree_index:某个根节点索引
l, r : 此根节点代表区间的左右边界
index : 更新的值的索引
"""
if l > index or r < index:
return
self.tree[tree_index] += 1
if l == r:
return
mid = (l + r) // 2
left, right = tree_index * 2 + 1, tree_index * 2 + 2
self.update(left, l, mid, index)
self.update(right, mid + 1, r, index)
def updateCount(self, index: int):
self.update(0, self.lower, self.upper, index)
def query(self, tree_index: int, l: int, r: int, ql: int, qr: int) -> int:
"""
递归查询区间[ql,..,qr]的值
tree_index : 某个根节点的索引
l, r : 该节点表示的区间的左右边界
ql, qr: 待查询区间的左右边界
"""
if qr < l or ql > r:
return 0
# l 和 r 在 [ql, qr] 内
if ql <= l and qr >= r:
return self.tree[tree_index]
mid = (l + r) // 2
left, right = tree_index * 2 + 1, tree_index * 2 + 2
return self.query(left, l, mid, ql, qr) + self.query(right, mid + 1, r, ql, qr)
def queryCount(self, ql: int, qr: int) -> int:
"""
返回区间[ql,..,qr]的计数信息
"""
return self.query(0, self.lower, self.upper, ql, qr)
class Solution:
def createSortedArray(self, instructions: List[int]) -> int:
mod = 10 ** 9 + 7
ans = 0
# eg: 1 2 2 3
upper = max(instructions)
seg = SegmentTree(upper, 1)
for instruction in instructions:
l = seg.queryCount(1, instruction - 1)
r = seg.queryCount(instruction + 1, upper)
ans = (ans + min(l, r)) % mod
seg.updateCount(instruction)
return ans
复杂度分析 令 N 为数组长度。
由于线段树更新和查询的时间复杂度为 $O(log(upper - lower))$，其中 upper 为 instructions 最大值，lower 为 instructions 最小值。由于题目限制了 $1 <= instructions[i] <= 10^5$，因此最坏情况下 upper - lower 为 10 ^5。
线段树使用了 $4 * (upper - lower + 1)$ 的空间。
- 时间复杂度：$O(Nlog(upper-lower))$
- 空间复杂度：$O(upper- lower)$
最近更新 2mo ago