Minimum-Light-Radius
You are given a list of integers nums representing coordinates of houses on a 1-dimensional line. You have 3 street lights that you can put anywhere on the coordinate line and a light at coordinate x lights up houses in [x - r, x + r], inclusive. Return the smallest r required such that we can place the 3 lights and all the houses are lit up.
Constraints
n ≤ 100,000 where n is the length of nums
Example 1
Input
nums = [3, 4, 5, 6]
Output
0.5
Explanation
If we place the lamps on 3.5, 4.5 and 5.5 then with r = 0.5 we can light up all 4 houses.
- 排序
- 二分法
这道题含义是给你一个数组 nums，让你在 [min(nums),max(nums)] 范围内放置 3 个灯，每个灯覆盖范围都是 r，让你求最小的 r。
之所以不选择小于 min(nums) 的位置和大于 max(nums) 的位置是因为没有必要。比如选取了小于 min(nums) 的位置 pos，那么选取 pos 一定不比选择 min(nums) 位置好。
这道题的核心点还是一样的思维模型，即：
- 确定 r 的上下界，这里 r 的下界是 0 上界是 max(nums) - min(nums)。
- 对于上下界之间的所有可能 x 进行枚举（不妨从小到大枚举），检查半径为 x 是否可以覆盖所有，返回第一个可以覆盖所有的 x 即可。
注意到我们是在一个有序序列进行枚举，因此使用二分就应该想到。可使用二分的核心点在于：如果 x 不行，那么小于 x 的所有半径都必然不行。
接下来的问题就是给定一个半径 x，判断其是否可覆盖所有的房子。
这其实就是我们讲义中提到的能力检测二分，我定义的函数 possible 就是能力检测。
首先对 nums 进行排序，这在后面会用到。 然后从左开始模拟放置灯。先在 nums[0] + r 处放置一个灯，其可以覆盖 [0, 2 r]。由于 nums 已经排好序了，那么这个等可以覆盖到的房间其实就是 nums 中坐标小于等于 2 \ r 所有房间，使用二分查找即可。对于 nums 右侧的所有的房间我们需要继续放置灯，采用同样的方式即可。
能力检测核心代码：
def possible(diameter):
start = nums[0]
end = start + diameter
for i in range(LIGHTS):
idx = bisect_right(nums, end)
if idx >= N:
return True
start = nums[idx]
end = start + diameter
return False
由于我们想要找到满足条件的最小值，因此可直接套用最左二分模板。
代码支持：Python3
Python3 Code:
class Solution:
def solve(self, nums):
nums.sort()
N = len(nums)
if N <= 3:
return 0
LIGHTS = 3
# 这里使用的是直径，因此最终返回需要除以 2
def possible(diameter):
start = nums[0]
end = start + diameter
for i in range(LIGHTS):
idx = bisect_right(nums, end)
if idx >= N:
return True
start = nums[idx]
end = start + diameter
return False
l, r = 0, nums[-1] - nums[0]
while l <= r:
mid = (l + r) // 2
if possible(mid):
r = mid - 1
else:
l = mid + 1
return l / 2
复杂度分析
令 n 为数组长度。
- 时间复杂度：由于进行了排序， 因此时间复杂度大约是 $O(nlogn)$
- 空间复杂度：取决于排序的空间消耗
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