0975. 奇偶跳

题目地址 (975. 奇偶跳）

https://leetcode-cn.com/problems/odd-even-jump/

题目描述

给定一个整数数组 A，你可以从某一起始索引出发，跳跃一定次数。在你跳跃的过程中，第 1、3、5... 次跳跃称为奇数跳跃，而第 2、4、6... 次跳跃称为偶数跳跃。

你可以按以下方式从索引 i 向后跳转到索引 j（其中 i < j）：

在进行奇数跳跃时（如，第 1，3，5... 次跳跃），你将会跳到索引 j，使得 A[i] <= A[j]，A[j] 是可能的最小值。如果存在多个这样的索引 j，你只能跳到满足要求的最小索引 j 上。
在进行偶数跳跃时（如，第 2，4，6... 次跳跃），你将会跳到索引 j，使得 A[i] >= A[j]，A[j] 是可能的最大值。如果存在多个这样的索引 j，你只能跳到满足要求的最小索引 j 上。
（对于某些索引 i，可能无法进行合乎要求的跳跃。）
如果从某一索引开始跳跃一定次数（可能是 0 次或多次），就可以到达数组的末尾（索引 A.length - 1），那么该索引就会被认为是好的起始索引。

返回好的起始索引的数量。

 

示例 1：

输入：[10,13,12,14,15]
输出：2
解释：
从起始索引 i = 0 出发，我们可以跳到 i = 2，（因为 A[2] 是 A[1]，A[2]，A[3]，A[4] 中大于或等于 A[0] 的最小值），然后我们就无法继续跳下去了。
从起始索引 i = 1 和 i = 2 出发，我们可以跳到 i = 3，然后我们就无法继续跳下去了。
从起始索引 i = 3 出发，我们可以跳到 i = 4，到达数组末尾。
从起始索引 i = 4 出发，我们已经到达数组末尾。
总之，我们可以从 2 个不同的起始索引（i = 3, i = 4）出发，通过一定数量的跳跃到达数组末尾。
示例 2：

输入：[2,3,1,1,4]
输出：3
解释：
从起始索引 i=0 出发，我们依次可以跳到 i = 1，i = 2，i = 3：

在我们的第一次跳跃（奇数）中，我们先跳到 i = 1，因为 A[1] 是（A[1]，A[2]，A[3]，A[4]）中大于或等于 A[0] 的最小值。

在我们的第二次跳跃（偶数）中，我们从 i = 1 跳到 i = 2，因为 A[2] 是（A[2]，A[3]，A[4]）中小于或等于 A[1] 的最大值。A[3] 也是最大的值，但 2 是一个较小的索引，所以我们只能跳到 i = 2，而不能跳到 i = 3。

在我们的第三次跳跃（奇数）中，我们从 i = 2 跳到 i = 3，因为 A[3] 是（A[3]，A[4]）中大于或等于 A[2] 的最小值。

我们不能从 i = 3 跳到 i = 4，所以起始索引 i = 0 不是好的起始索引。

类似地，我们可以推断：
从起始索引 i = 1 出发， 我们跳到 i = 4，这样我们就到达数组末尾。
从起始索引 i = 2 出发， 我们跳到 i = 3，然后我们就不能再跳了。
从起始索引 i = 3 出发， 我们跳到 i = 4，这样我们就到达数组末尾。
从起始索引 i = 4 出发，我们已经到达数组末尾。
总之，我们可以从 3 个不同的起始索引（i = 1, i = 3, i = 4）出发，通过一定数量的跳跃到达数组末尾。
示例 3：

输入：[5,1,3,4,2]
输出：3
解释：
我们可以从起始索引 1，2，4 出发到达数组末尾。
 

提示：

1 <= A.length <= 20000
0 <= A[i] < 100000

前置知识

单调栈

公司

暂无

思路

题目要求我们从数组某一个索引出发交替跳高和跳低（奇偶跳），如果可以跳到末尾，则计数器加一，最终返回计数器的值。

这种题目一般都是倒着思考比较容易。因为我虽然不知道你从哪开始可以跳到最后，但是我知道最终被计算进返回值的一定是在数组末尾结束的。

我们先尝试从题目给的例子打开思路。

以题目中的[10,13,12,14,15]为例。最终计入计数器的出发点一定是跳到了 15 上，15 这一步既可以是跳高（奇数跳）过来的，也可以是跳低（偶数跳）过来的。

如果是跳高过来的，那么一定是 14，因此只有 14 的下一个最小的比其大（或等于）的是 15。
不可能是跳低过来的，因为没有比它大的。而如果前面有比它大的，那一定是找一个数 x，x 的下一个最大的比其小（或等于）的是 15。

一开始我想到的是单调栈，单很快就发现这行不通。因为题目要求的并不是下一个比其大（或等于）的数，而是下一个最小的比其大（或等于）。

如果题目要求的是下一个比其大（或等于）的数。那么我可以写出如下的代码：

n = len(A)
next_higher, next_lower = [-1] * n, [-1] * n

stack = []
for i, a in enumerate(A):
    while stack and A[stack[-1]] <= A[i]:
        next_higher[stack.pop()] = i
    stack.append(i)
stack = []
for i, a in enumerate(A):
    while stack and A[stack[-1]] >= A[i]:
        next_lower[stack.pop()] = i
    stack.append(i)

对上面代码不熟悉的朋友，可以看下我之前写的单调栈专题。

可是我们需要求的是下一个最小的比其大（或等于）呀。一种简单的方法是先对 A 进行排序再使用单调栈。比如我们进行升序排序，接下来只要遍历一次排好序的数组，同时结合单调栈即可。由于已经进行了排序，因此后面的数一定是不小于前面的数的，且对于任意相邻的数 a 和 b，a 的最小的大于等于它本身的数就是 b，前提是 a 和 b 对应排序之前的索引 i 和 j 满足 i < j。这提示我们排序的时候需要额外记录原始索引。

代码：

A = sorted([a, i] for i, a in enumerate(A))

这里有 1 个细节。即排序的时候如何处理相等情况，比如 a 和 b 相等，是保持之前的相对顺序还是逆序还是都可以？实际上，我们想希望的是保持之前的相对顺序，这样才不会错过相等的情况的解。因此我这里排序的是时候是以 [a, i] 形式保存的数据。

由于除了要处理跳高，我们仍然需要处理跳低。而最关键的是跳低也需要我们在 a 和 b 相等的情况下，保持之前的相对顺序。因此就不能通过简单的排序一次处理。比如我们不能这么干：

class Solution:
    def oddEvenJumps(self, A):
        n = len(A)
        next_higher, next_lower = [0] * n, [0] * n
        A = sorted([a, i] for i, a in enumerate(A))

        stack = []
        for _, i in A:
            # it means stack[-1]'s next bigger(or equal) is i
            while stack and stack[-1] < i:
                next_higher[stack.pop()] = i
            stack.append(i)

        stack = []
        for _, i in A[::-1]:
            # it means stack[-1]'s next smaller(or equal) is i
            while stack and stack[-1] < i:
                next_lower[stack.pop()] = i
            stack.append(i)

        # ...

解决这个问题的方法最简单的莫过于使用两次排序，具体见下方代码区。

现在已经有了两个数组，这两个数组可以帮助我们

快速找到下一个最小的比其大（或等于）的数。（奇数跳）
快速找到下一个最大的比其小（或等于）的数。（偶数跳）

数据已经预处理完毕。接下来，只需要从结果倒推即可。这提示我们从后往前遍历。

算法：

使用前面的方法预处理出 next_higher 和 next_lower
使用两个数组 higher 和 lower。higher[i] 表示是否可从 i 开始通过跳高的方式奇偶跳到达数组最后一项，lower 也是类似。
从后往前倒推遍历。如果 lower[next_higher[i]] 为 true 说明 i 是可以通过跳高的方式奇偶跳到达数组最后一项的。higher[next_lower[i]] 也是类似。
最后返回 higher 中为 true 的个数。

代码

代码支持： Python3

Python Code:

class Solution:
    def oddEvenJumps(self, A):
        n = len(A)
        next_higher, next_lower = [0] * n, [0] * n

        stack = []
        for _, i in sorted([a, i] for i, a in enumerate(A)):
            # it means stack[-1]'s next bigger(or equal) is i
            while stack and stack[-1] < i:
                next_higher[stack.pop()] = i
            stack.append(i)

        stack = []
        for _, i in sorted([-a, i] for i, a in enumerate(A)):
            # it means stack[-1]'s next smaller(or equal) is i
            while stack and stack[-1] < i:
                next_lower[stack.pop()] = i
            stack.append(i)

        higher, lower = [False] * n, [False] * n
        higher[-1] = lower[-1] = True
        ans = 1
        for i in range(n - 2, -1, -1):
            higher[i] = lower[next_higher[i]]
            lower[i] = higher[next_lower[i]]
            ans += higher[i]
        return ans

复杂度分析

令 N 为数组 A 的长度。

时间复杂度：$O(NlogN)$
空间复杂度：$O(N)$

有的同学好奇为什么不考虑 lower。类似：

ans = 1
for i in range(n - 2, -1, -1):
    higher[i] = lower[next_higher[i]]
    lower[i] = higher[next_lower[i]]
    ans += higher[i] or lower[i]
return ans

根本原因是题目要求我们必须从奇数跳开始，而不是能偶数跳开始。如果题目不限制奇数跳和偶数跳，你可以自己自由选择的话，就必须使用上面的代码啦。

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