第六章 - 高频考题(困难)
0483. 最小好进制

题目地址(483. 最小好进制)

题目描述

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对于给定的整数 n, 如果n的k(k>=2)进制数的所有数位全为1,则称 k(k>=2)是 n 的一个好进制。
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以字符串的形式给出 n, 以字符串的形式返回 n 的最小好进制。
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示例 1:
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输入:"13"
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输出:"3"
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解释:13 的 3 进制是 111。
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示例 2:
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输入:"4681"
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输出:"8"
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解释:4681 的 8 进制是 11111。
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示例 3:
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输入:"1000000000000000000"
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输出:"999999999999999999"
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解释:1000000000000000000 的 999999999999999999 进制是 11。
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提示:
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n的取值范围是 [3, 10^18]。
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输入总是有效且没有前导 0。
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前置知识

  • 二分法
  • 进制转换

公司

  • 暂无

思路

题目虽然很短,题意也不难理解。但是要想做出来还是要费一番功夫的。
题目的意思是给你一个数字 n,让你返回一个进制 k,使得 n 的 k 进制表示为 1111...111,即一个全 1 的表示,并且需要返回满足条件最小的 k
朴素的思路是一个个尝试。不过就算想要暴力求解也要一点进制转换的知识。这个知识点是: 一个数字 n 的 k 进制表示可以按照 $a k^0 + b k^1 + c k^2 + ... + m k^{N-1}$ 的方式转化为十进制,其中 N 为 数字 n 的 k 进制位数。 比如十进制 3 的二进制是为 11,其位数就是 2。再比如十进制的 199,位数为 3。由于我们要求的是位全为 1 的数,因此系数全部为 1,也就是 a,b,c ...., m 全部为 1。
因此我们可从 k = 2 开始枚举,直到 n - 1,线性尝试是否可满足条件。
一进制只能有 0, 不可能有 1,故不考虑。 由于 n 进行最多 n 个数,上限是 n - 1,因此我们的枚举上限也是 n - 1。
核心伪代码:
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n = int(n)
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// 上面提到的 base 进制转十进制公式
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func sum_with(base, N):
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return sum(1 * base ** i for i in range(N))
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for k=2 to n - 1:
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if sum_with(k, N) == n: return k
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可问题是 N 如何求出呢?
朴素的思路仍然是线性枚举。但是我们的搜索区间如何确定呢?我们知道对于一个数 n 来说,其 2 进制表示的长度一定是大于 3 进制表示的长度的。更一般而言,如果 k1 > k2,那么对于一个数字 n 的 k1 进制表示的位数一定小于 k2 进行表示的位数。 因此我们的解空间就是 [1,x] 其中 x 为 n 的二进制表示的位数。也就是说,我们可逐一枚举 N 的值 N`。
注意到需要返回的是最小的 k 进制,结合前面说的进制越小 N 越大的知识,我们应该使用从后往前倒着遍历,这样遇到满足条件的 k 可直接返回,因此在平均意义上时间复杂度更低。
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n = int(n)
2
// 上面提到的 base 进制转十进制公式
3
func sum_with(base, N):
4
return sum(1 * base ** i for i in range(N))
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for N=x to 1:
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for k=2 to n - 1:
7
if sum_with(k, N) == n: return k
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注意这里的 x 到 1 的枚举没有必要线性枚举,而是可使用二分搜索的方式进行,其依据是如果进制 k 的 N 位表示大于 n,那么 N`表示就不用看了,肯定都大,其中 N`是大于 N 的整数
让我们来计算下上面算法的时间复杂度。外层二分枚举的时间复杂度 $O(loglogn)$,内层枚举的时间复杂度是 n,sum_with 的时间复杂度为 logn,因此总的时间复杂度为 $n\times loglogn\times logn$。
到这里为止,算法勉强可以通过了。不过仍然有优化空间。注意到 sum_with 部分其实就是一个等比数列求和,因此我们可以使用等比数列求和公式,从而将 sum_with 的时间复杂度降低到 $O(1)$。
即使如此算法的时间复杂度也是 $O(n\times loglogn)$,代入到题目是的数据范围 $[3, 10^{18}]$,也是在超时边缘。使用数学法降维打击可以获得更好的效率,感兴趣的可以研究一下。

关键点解析

  • 利用等比数列求和公式可降低时间复杂度
  • 从进制转换入手发现单调性,从而使用二分解决

代码

代码支持:Python3
Python3 Code:
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class Solution:
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def smallestGoodBase(self, n: str) -> str:
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n = int(n)
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# 上面提到的 base 进制转十进制公式。
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# 使用等比数列求和公式可简化时间复杂度
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def sum_with(base, N):
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return (1 - base ** N) // (1 - base)
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# return sum(1 * base ** i for i in range(N))
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# bin(n) 会计算出 n 的二进制表示, 其会返回形如 '0b10111' 的字符串,因此需要减去 2。
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for N in range(len(bin(n)) - 2, 0, -1):
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l = 2
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r = n - 1
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while l <= r:
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mid = (l + r) // 2
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v = sum_with(mid, N)
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if v < n:
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l = mid + 1
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elif v > n:
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r = mid - 1
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else:
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return str(mid)
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复杂度分析
  • 时间复杂度:$O(n\times loglogn)$
  • 空间复杂度:$O(1)$