0172. 阶乘后的零

题目地址(172. 阶乘后的零)

https://leetcode-cn.com/problems/factorial-trailing-zeroes/

题目描述

给定一个整数 n，返回 n! 结果尾数中零的数量。

示例 1:

输入: 3
输出: 0
解释: 3! = 6, 尾数中没有零。
示例 2:

输入: 5
输出: 1
解释: 5! = 120, 尾数中有 1 个零.
说明: 你算法的时间复杂度应为 O(log n) 。

前置知识

• 递归

公司

• 阿里

• 腾讯

• 百度

• bloomberg

思路

我们需要求解这 n 个数字相乘的结果末尾有多少个 0，由于题目要求 log 的复杂度，因此 暴力求解是不行的。

通过观察，我们发现如果想要结果末尾是 0，必须是分解质因数之后，2 和 5 相乘才行， 同时因数分解之后发现 5 的个数远小于 2，因此我们只需要求解这 n 数字分解质因数之后 一共有多少个 5 即可.

172.factorial-trailing-zeroes-2

如图如果 n 为 30，那么结果应该是图中红色 5 的个数，即 7。

172.factorial-trailing-zeroes-1

我们的结果并不是直接 f(n) = n / 5, 比如 n 为 30， 25 中是有两个 5 的。类似，n 为 150，会有 7 个这样的数字。

其中 f(n) = n / 5 其实仅表示分解出的质因数仅包含一个 5 的个数。而我们的答案是质 因数中所有的 5 。因此等价于 f(n) = n / 5 + n / 25 + n / 125 + ... + n / 5^k

5 ^ k 表示 质因数中有 k 个 5 的个数

据此得出转移方程：f(n) = n/5 + n/5^2 + n/5^3 + n/5^4 + n/5^5+..

172.factorial-trailing-zeroes-3

如果可以发现上面的方程，用递归还是循环实现这个算式就看你的了。

关键点解析

• 数论

代码

• 语言支持：JS，Python，C++, Java

Javascript Code:

/*
 * @lc app=leetcode id=172 lang=javascript
 *
 * [172] Factorial Trailing Zeroes
 */
/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var trailingZeroes = function (n) {
  // tag: 数论

  // if (n === 0) return n;

  // 递归： f(n) = n / 5 + f(n / 5)
  // return Math.floor(n / 5)  + trailingZeroes(Math.floor(n / 5));
  let count = 0;
  while (n >= 5) {
    count += Math.floor(n / 5);
    n = Math.floor(n / 5);
  }
  return count;
};

Python Code:

class Solution:
    def trailingZeroes(self, n: int) -> int:
        count = 0
        while n >= 5:
            n = n // 5
            count += n
        return count


# 递归
class Solution:
    def trailingZeroes(self, n: int) -> int:
        if n == 0: return 0
        return n // 5 + self.trailingZeroes(n // 5)

C++ Code:

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        int res = 0;
        while(n >= 5)
        {
            n/=5;
            res += n;
        }
        return res;
    }
};

Java Code:

class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int res = 0;
        while(n >= 5)
        {
            n/=5;
            res += n;
        }
        return res;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(logN)$

• 空间复杂度：$O(1)$

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