第五章 - 高频考题（中等）
1906. 查询差绝对值的最小值
0309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
题目地址(309. 最佳买卖股票时机含冷冻期)
题目描述
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给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
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设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
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你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
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卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
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示例:
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输入: [1,2,3,0,2]
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输出: 3
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解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
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前置知识
- 记忆化递归
公司
- 阿里
- 腾讯
- 字节
记忆化递归
思路
用 f(i, state) 表示第 i 天（从 0 开始），当前状态是 state 的最大利润。
- state 为 0 表示手上没有股票
- state 为 1 表示手上有股票
- state 为 -1 表示手上没有股票，但是在冷冻期，所以不能买。
那么转移方程就容易了。
- 如果 state 为 0，那么当前可以什么都不做，也可以买入，也就是说不能卖出了。因此最大利润就是两种的最大值。
1
max(f(i+1, 0), f(i+1, 1) - prices[i])
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- 如果 state 为 1，那么当前可以什么都不做，也可以卖出，也就是说不能买入了。因此最大利润就是两种的最大值。
1
max(f(i+1, 1), f(i+1, -1) + prices[i])
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- 如果 state 为 -1，那么当前只能什么都不做，因此最大利润维持不变，但是状态变为 0。（因为冷冻期只有一天，思考下如果冷冻期是 k 天如何修改我们的逻辑？）
1
f(i+1, 0)
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临界条件就是 i == n - 1，此时如果 state == 1， 我们可以将其卖掉，否则无法卖出。
代码
代码支持：Python3
Python3 Code:
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class Solution:
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def maxProfit(self, prices):
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if not prices:
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return 0
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n = len(prices)
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@lru_cache(None)
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def f(i, state):
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if i == n - 1:
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return prices[i] if state == 1 else 0
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if state == -1:
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return f(i + 1, 0)
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if state == 0:
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return max(f(i + 1, 0), -prices[i] + f(i + 1, 1))
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if state == 1:
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return max(prices[i] + f(i + 1, -1), f(i + 1, 1))
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return f(0, 0)
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复杂度分析
令 n 为数组长度。
- 时间复杂度: 状态总数为 3 * n ，单个状态所需时间为 $O(1)$，因此时间复杂度为 $O(n)$
- 空间复杂度：状态总数为 3 * n ，因此空间复杂度为 $O(n)$
动态规划
思路
这是一道典型的 DP 问题， DP 问题的核心是找到状态和状态转移方程。
这道题目的状态似乎比我们常见的那种 DP 问题要多，这里的状态有 buy sell cooldown 三种，我们可以用三个数组来表示这这三个状态，buy,sell, cooldown。其中：
- buy[i]表示第 i 天，且手里有股票（不在冷冻期）的最大利润
- sell[i]表示第 i 天，且手里没有股票的最大利润
- cooldown[i]表示第 i 天，且手里有股票（但是在冷冻期不能卖）的最大利润
我们思考一下，其实 cooldown 这个状态数组似乎没有什么用，因为 cooldown 不会对
profit产生任何影响。 我们可以进一步缩小为两种状态。- buy[i] 表示第 i 天，且手里有股票的最大利润
- sell[i] 表示第 i 天，且手里没股票的最大利润
对应的状态转移方程如下：
这个需要花点时间来理解
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buy[i] = Math.max(buy[i - 1], sell[i - 2] - prices[i]);
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sell[i] = Math.max(sell[i - 1], buy[i - 1] + prices[i]);
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我们来分析一下，buy[i]对应第 i 的 action 只能是 buy 或者 cooldown。（如果是 sell 的话手里就没有股票了）
- 如果是 cooldown，那么 profit 就是 buy[i - 1]
- 如果是 buy，那么就是
前一个卖的profit减去今天买股票花的钱，即 sell[i -2] - prices[i]
注意这里是 i - 2，不是 i-1 ，因为有 cooldown 一天的限制
sell[i]对应第 i 的 action 只能是 sell 或者 cooldown。
- 如果是 cooldown，实际上就是 sell[i - 1]。
- 如果是 sell，那么利润就是
前一次买的时候获取的利润加上这次卖的钱，即 buy[i - 1] + prices[i]
关键点解析
- 多状态动态规划
代码
代码支持：JS
JS Code:
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/*
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* @lc app=leetcode id=309 lang=javascript
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*
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* [309] Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown
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*
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*/
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/**
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* @param {number[]} prices
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* @return {number}
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*/
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var maxProfit = function (prices) {
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if (prices == null || prices.length <= 1) return 0;
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// 定义状态变量
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const buy = [];
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const sell = [];
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// 寻常
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buy[0] = -prices[0];
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buy[1] = Math.max(-prices[0], -prices[1]);
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sell[0] = 0;
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sell[1] = Math.max(0, prices[1] - prices[0]);
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for (let i = 2; i < prices.length; i++) {
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// 状态转移方程
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// 第i天只能是买或者cooldown
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// 如果买利润就是sell[i - 2] - prices[i], 注意这里是i - 2，不是 i-1 ，因为有cooldown的限制
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// cooldown就是buy[i -1]
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buy[i] = Math.max(buy[i - 1], sell[i - 2] - prices[i]);
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// 第i天只能是卖或者cooldown
29
// 如果卖利润就是buy[i -1] + prices[i]
30
// cooldown就是sell[i -1]
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sell[i] = Math.max(sell[i - 1], buy[i - 1] + prices[i]);
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}
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return Math.max(buy[prices.length - 1], sell[prices.length - 1], 0);
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};
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复杂度分析
令 n 为数组长度。
- 时间复杂度：$O(n)$（同上）
- 空间复杂度：$O(n)$（同上）
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