第五章 - 高频考题(中等)
1906. 查询差绝对值的最小值
0932. 漂亮数组

题目地址(932. 漂亮数组)

题目描述

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对于某些固定的 N,如果数组 A 是整数 1, 2, ..., N 组成的排列,使得:
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对于每个 i < j,都不存在 k 满足 i < k < j 使得 A[k] * 2 = A[i] + A[j]。
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那么数组 A 是漂亮数组。
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给定 N,返回任意漂亮数组 A(保证存在一个)。
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示例 1:
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输入:4
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输出:[2,1,4,3]
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示例 2:
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输入:5
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输出:[3,1,2,5,4]
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提示:
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1 <= N <= 1000
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前置知识

  • 分治

公司

  • 暂无

思路

由数字的奇偶特性,可知:奇数 + 偶数 = 奇数
因此如果要使得:对于每个 i < j,都不存在 k 满足 i < k < j 使得 A[k] * 2 = A[i] + A[j] 成立,我们可以令 A[i] 和 A[j] 一个为奇数,另一个为偶数即可。
另外还有两个非常重要的性质,也是本题的突破口。那就是:
性质 1: 如果数组 A 是 漂亮数组,那么将 A 中的每一个数 x 进行 kx + b 的映射,其仍然为漂亮数组。其中 k 为不等于 0 的整数, b 为整数。 性质 2:如果数组 A 和 B 分别是不同奇偶性的漂亮数组,那么将 A 和 B 拼接起来仍为漂亮数组。
举个例子。我们要求长度为 N 的漂亮数组。那么一定是有 N / 2 个偶数 和 N - N / 2 个奇数。
这里的除法为地板除。
假设长度为 N / 2 和 N - N/2 的漂亮数组被计算出来了。那么我们只需要对长度为 N/2 的漂亮数组通过性质 1 变换成全部为偶数的漂亮数组,并将长度为 N - N/2 的漂亮数组也通过性质 1 变换成全部为奇数的漂亮数组。接下来利用性质 2 将其进行拼接即可得到一个漂亮数组。
刚才我们假设长度为 N / 2 和 N - N/2 的漂亮数组被计算出来了,实际上我们并没有计算出来,那么其实可以用同样的方法来计算。其实就是分治,将问题规模缩小了,问题本质不变。递归的终点自然是 N == 1,此时可直接返回 [1]。

关键点

  • 利用性质奇数 + 偶数 = 奇数
  • 对问题进行分解

代码

  • 语言支持:Python3
Python3 Code:
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class Solution:
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def beautifulArray(self, N: int) -> List[int]:
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@lru_cache(None)
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def dp(n):
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if n == 1:
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return [1]
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ans = []
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# [1,n] 中奇数比偶数多1或一样
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for a in dp(n - n // 2):
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ans += [a * 2 - 1]
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for b in dp(n // 2):
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ans += [b * 2]
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return ans
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return dp(N)
Copied!
复杂度分析
令 n 为数组长度。
  • 时间复杂度:$O(nlogn)$
  • 空间复杂度:$O(n + logn)$
此题解由 力扣刷题插件 自动生成。
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