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# 0932. 漂亮数组
### 题目地址(932. 漂亮数组)
### 题目描述
```
对于某些固定的 N，如果数组 A 是整数 1, 2, ..., N 组成的排列，使得：
对于每个 i < j，都不存在 k 满足 i < k < j 使得 A[k] * 2 = A[i] + A[j]。
那么数组 A 是漂亮数组。
给定 N，返回任意漂亮数组 A（保证存在一个）。
示例 1：
输入：4
输出：[2,1,4,3]
示例 2：
输入：5
输出：[3,1,2,5,4]
提示：
1 <= N <= 1000
```
### 前置知识
* 分治
### 公司
* 暂无
### 思路
由数字的奇偶特性，可知：**奇数 + 偶数 = 奇数** 。
因此如果要使得：\*\*对于每个 i < j，都不存在 k 满足 i < k < j 使得 A\[k] \* 2 = A\[i] + A\[j] \*\* 成立，我们可以令 A\[i] 和 A\[j] 一个为奇数，另一个为偶数即可。
另外还有两个非常重要的性质，也是本题的突破口。那就是：
性质 1： 如果数组 A 是 漂亮数组，那么将 A 中的每一个数 x 进行 kx + b 的映射，其仍然为漂亮数组。其中 k 为不等于 0 的整数， b 为整数。 性质 2：如果数组 A 和 B 分别是不同奇偶性的漂亮数组，那么将 A 和 B 拼接起来仍为漂亮数组。
举个例子。我们要求长度为 N 的漂亮数组。那么一定是有 N / 2 个偶数 和 N - N / 2 个奇数。
> 这里的除法为地板除。
假设长度为 N / 2 和 N - N/2 的漂亮数组被计算出来了。那么我们只需要对长度为 N/2 的漂亮数组通过性质 1 变换成全部为偶数的漂亮数组，并将长度为 N - N/2 的漂亮数组也通过性质 1 变换成全部为奇数的漂亮数组。接下来利用性质 2 将其进行拼接即可得到一个漂亮数组。
刚才我们**假设长度为 N / 2 和 N - N/2 的漂亮数组被计算出来了**，实际上我们并没有计算出来，那么其实可以用同样的方法来计算。其实就是分治，将问题规模缩小了，问题本质不变。递归的终点自然是 N == 1，此时可直接返回 \[1]。
### 关键点
* 利用性质**奇数 + 偶数 = 奇数**
* 对问题进行分解
### 代码
* 语言支持：Python3
Python3 Code:
```python
class Solution:
def beautifulArray(self, N: int) -> List[int]:
@lru_cache(None)
def dp(n):
if n == 1:
return [1]
ans = []
# [1,n] 中奇数比偶数多1或一样
for a in dp(n - n // 2):
ans += [a * 2 - 1]
for b in dp(n // 2):
ans += [b * 2]
return ans
return dp(N)
```
**复杂度分析**
令 n 为数组长度。
* 时间复杂度：$O(nlogn)$
* 空间复杂度：$O(n + logn)$
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