力扣加加 - 努力做西湖区最好的算法题解
  • introduction
  • 第一章 - 算法专题
    • 数据结构
    • 链表专题
    • 树专题
    • 堆专题(上)
    • 堆专题(下)
    • 二分专题(上)
    • 二分专题(下)
    • 动态规划(重置版)
    • 大话搜索
    • 二叉树的遍历
    • 哈夫曼编码和游程编码
    • 布隆过滤器
    • 前缀树
    • 回溯
    • 滑动窗口(思路 + 模板)
    • 位运算
    • 小岛问题
    • 最大公约数
    • 并查集
    • 平衡二叉树专题
    • 蓄水池抽样
    • 单调栈
  • 第二章 - 91 天学算法
    • 91 天学算法第三期视频会议总结
    • 第一期讲义-二分法
    • 第一期讲义-双指针
    • 第三期正在火热进行中
  • 第三章 - 精选题解
    • 字典序列删除
    • 西法的刷题秘籍】一次搞定前缀和
    • 字节跳动的算法面试题是什么难度?
    • 字节跳动的算法面试题是什么难度?(第二弹)
    • 《我是你的妈妈呀》 * 第一期
    • 一文带你看懂二叉树的序列化
    • 穿上衣服我就不认识你了?来聊聊最长上升子序列
    • 你的衣服我扒了 * 《最长公共子序列》
    • 一文看懂《最大子序列和问题》
  • 第四章 - 高频考题(简单)
    • 面试题 17.12. BiNode
    • 0001. 两数之和
    • 0020. 有效的括号
    • 0021. 合并两个有序链表
    • 0026. 删除排序数组中的重复项
    • 0053. 最大子序和
    • 0160. 相交链表
    • 0066. 加一
    • 0088. 合并两个有序数组
    • 0101. 对称二叉树
    • 0104. 二叉树的最大深度
    • 0108. 将有序数组转换为二叉搜索树
    • 0121. 买卖股票的最佳时机
    • 0122. 买卖股票的最佳时机 II
    • 0125. 验证回文串
    • 0136. 只出现一次的数字
    • 0155. 最小栈
    • 0167. 两数之和 II 输入有序数组
    • 0169. 多数元素
    • 0172. 阶乘后的零
    • 0190. 颠倒二进制位
    • 0191. 位 1 的个数
    • 0198. 打家劫舍
    • 0203. 移除链表元素
    • 0206. 反转链表
    • 0219. 存在重复元素 II
    • 0226. 翻转二叉树
    • 0232. 用栈实现队列
    • 0263. 丑数
    • 0283. 移动零
    • 0342. 4 的幂
    • 0349. 两个数组的交集
    • 0371. 两整数之和
    • 401. 二进制手表
    • 0437. 路径总和 III
    • 0455. 分发饼干
    • 0504. 七进制数
    • 0575. 分糖果
    • 0665. 非递减数列
    • 0661. 图片平滑器
    • 821. 字符的最短距离
    • 0874. 模拟行走机器人
    • 1128. 等价多米诺骨牌对的数量
    • 1260. 二维网格迁移
    • 1332. 删除回文子序列
    • 2591. 将钱分给最多的儿童
  • 第五章 - 高频考题(中等)
    • 面试题 17.09. 第 k 个数
    • 面试题 17.23. 最大黑方阵
    • 面试题 16.16. 部分排序
    • Increasing Digits
    • Longest Contiguously Strictly Increasing Sublist After Deletion
    • Consecutive Wins
    • Number of Substrings with Single Character Difference
    • Bus Fare
    • Minimum Dropping Path Sum
    • Every Sublist Min Sum
    • Maximize the Number of Equivalent Pairs After Swaps
    • 0002. 两数相加
    • 0003. 无重复字符的最长子串
    • 0005. 最长回文子串
    • 0011. 盛最多水的容器
    • 0015. 三数之和
    • 0017. 电话号码的字母组合
    • 0019. 删除链表的倒数第 N 个节点
    • 0022. 括号生成
    • 0024. 两两交换链表中的节点
    • 0029. 两数相除
    • 0031. 下一个排列
    • 0033. 搜索旋转排序数组
    • 0039. 组合总和
    • 0040. 组合总和 II
    • 0046. 全排列
    • 0047. 全排列 II
    • 0048. 旋转图像
    • 0049. 字母异位词分组
    • 0050. Pow(x, n)
    • 0055. 跳跃游戏
    • 0056. 合并区间
    • 0060. 第 k 个排列
    • 0061. 旋转链表
    • 0062. 不同路径
    • 0073. 矩阵置零
    • 0075. 颜色分类
    • 0078. 子集
    • 0079. 单词搜索
    • 0080. 删除排序数组中的重复项 II
    • 0086. 分隔链表
    • 0090. 子集 II
    • 0091. 解码方法
    • 0092. 反转链表 II
    • 0094. 二叉树的中序遍历
    • 0095. 不同的二叉搜索树 II
    • 0096. 不同的二叉搜索树
    • 0098. 验证二叉搜索树
    • 0102. 二叉树的层序遍历
    • 0103. 二叉树的锯齿形层次遍历
    • 0113. 路径总和 II
    • 0129. 求根到叶子节点数字之和
    • 0130. 被围绕的区域
    • 0131. 分割回文串
    • 0139. 单词拆分
    • 0144. 二叉树的前序遍历
    • 0147. 对链表进行插入排序
    • 0150. 逆波兰表达式求值
    • 0152. 乘积最大子数组
    • 0153. 寻找旋转排序数组中的最小值
    • 0199. 二叉树的右视图
    • 0200. 岛屿数量
    • 0201. 数字范围按位与
    • 0208. 实现 Trie (前缀树)
    • 0209. 长度最小的子数组
    • 0211. 添加与搜索单词 - 数据结构设计
    • 0215. 数组中的第 K 个最大元素
    • 0220. 存在重复元素 III
    • 0221. 最大正方形
    • 0227. 基本计算器 II
    • 0229. 求众数 II
    • 0230. 二叉搜索树中第 K 小的元素
    • 0236. 二叉树的最近公共祖先
    • 0238. 除自身以外数组的乘积
    • 0240. 搜索二维矩阵 II
    • 0279. 完全平方数
    • 0309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
    • 0322. 零钱兑换
    • 0324. 摆动排序 II
    • 0328. 奇偶链表
    • 0331. 验证二叉树的前序序列化
    • 0334. 递增的三元子序列
    • 0337. 打家劫舍 III
    • 0343. 整数拆分
    • 0365. 水壶问题
    • 0378. 有序矩阵中第 K 小的元素
    • 0380. 常数时间插入、删除和获取随机元素
    • 0394. 字符串解码
    • 0416. 分割等和子集
    • 0424. 替换后的最长重复字符
    • 0438. 找到字符串中所有字母异位词
    • 0445. 两数相加 II
    • 0454. 四数相加 II
    • 0456. 132 模式
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    • 0516. 最长回文子序列
    • 0513. 找树左下角的值
    • 0518. 零钱兑换 II
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    • 0560. 和为 K 的子数组
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    • 0673. 最长递增子序列的个数
    • 0686. 重复叠加字符串匹配
    • 0710. 黑名单中的随机数
    • 0714. 买卖股票的最佳时机含手续费
    • 0718. 最长重复子数组
    • 0735. 行星碰撞
    • 0754. 到达终点数字
    • 0785. 判断二分图
    • 0790. 多米诺和托米诺平铺
    • 0799. 香槟塔
    • 0801. 使序列递增的最小交换次数
    • 0816. 模糊坐标
    • 0820. 单词的压缩编码
    • 0838. 推多米诺
    • 0873. 最长的斐波那契子序列的长度
    • 0875. 爱吃香蕉的珂珂
    • 0877. 石子游戏
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    • 0898. 子数组按位或操作
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    • 0978. 最长湍流子数组
    • 0987. 二叉树的垂序遍历
    • 1004. 最大连续 1 的个数 III
    • 1011. 在 D 天内送达包裹的能力
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    • 1015. 可被 K 整除的最小整数
    • 1019. 链表中的下一个更大节点
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    • 1043. 分隔数组以得到最大和
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    • 1104. 二叉树寻路
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    • 1262. 可被三整除的最大和
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    • 1904. 你完成的完整对局数
    • 1906. 查询差绝对值的最小值
    • 1906. 查询差绝对值的最小值
    • 2007. 从双倍数组中还原原数组
    • 2008. 出租车的最大盈利
    • 2100. 适合打劫银行的日子
    • 2101. 引爆最多的炸弹
    • 2121. 相同元素的间隔之和
    • 2207. 字符串中最多数目的子字符串
    • 2592. 最大化数组的伟大值
    • 2593. 标记所有元素后数组的分数
    • 2817. 限制条件下元素之间的最小绝对差
    • 2865. 美丽塔 I
    • 2866. 美丽塔 II
    • 2939. 最大异或乘积
    • 3377. 使两个整数相等的数位操作
    • 3404. 统计特殊子序列的数目
    • 3428. 至多 K 个子序列的最大和最小和
  • 第六章 - 高频考题(困难)
    • LCP 20. 快速公交
    • LCP 21. 追逐游戏
    • Number Stream to Intervals
    • Triple-Inversion
    • Kth-Pair-Distance
    • Minimum-Light-Radius
    • Largest Equivalent Set of Pairs
    • Ticket-Order.md
    • Connected-Road-to-Destination
    • 0004. 寻找两个正序数组的中位数
    • 0023. 合并 K 个升序链表
    • 0025. K 个一组翻转链表
    • 0030. 串联所有单词的子串
    • 0032. 最长有效括号
    • 0042. 接雨水
    • 0052. N 皇后 II
    • 0057. 插入区间
    • 0065. 有效数字
    • 0084. 柱状图中最大的矩形
    • 0085. 最大矩形
    • 0087. 扰乱字符串
    • 0124. 二叉树中的最大路径和
    • 0128. 最长连续序列
    • 0132. 分割回文串 II
    • 0140. 单词拆分 II
    • 0145. 二叉树的后序遍历
    • 0146. LRU 缓存机制
    • 0154. 寻找旋转排序数组中的最小值 II
    • 0212. 单词搜索 II
    • 0239. 滑动窗口最大值
    • 0295. 数据流的中位数
    • 0297. 二叉树的序列化与反序列化
    • 0301. 删除无效的括号
    • 0312. 戳气球
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    • 0335. 路径交叉
    • 0460. LFU 缓存
    • 0472. 连接词
    • 0480. 滑动窗口中位数
    • 0483. 最小好进制
    • 0488. 祖玛游戏
    • 0493. 翻转对
    • 0664. 奇怪的打印机
    • 0679. 24 点游戏
    • 0715. Range 模块
    • 0726. 原子的数量
    • 0768. 最多能完成排序的块 II
    • 0805. 数组的均值分割
    • 0839. 相似字符串组
    • 0887. 鸡蛋掉落
    • 0895. 最大频率栈
    • 0975. 奇偶跳
    • 0995. K 连续位的最小翻转次数
    • 1032. 字符流
    • 1168. 水资源分配优化
    • 1178. 猜字谜
    • 1203. 项目管理
    • 1255. 得分最高的单词集合
    • 1345. 跳跃游戏 IV
    • 1449. 数位成本和为目标值的最大数字
    • 1494. 并行课程 II
    • 1521. 找到最接近目标值的函数值
    • 1526. 形成目标数组的子数组最少增加次数
    • 1639. 通过给定词典构造目标字符串的方案数
    • 1649. 通过指令创建有序数组
    • 1671. 得到山形数组的最少删除次数
    • 1707. 与数组中元素的最大异或值
    • 1713. 得到子序列的最少操作次数
    • 1723. 完成所有工作的最短时间
    • 1787. 使所有区间的异或结果为零
    • 1835. 所有数对按位与结果的异或和
    • 1871. 跳跃游戏 VII
    • 1872. 石子游戏 VIII
    • 1883. 准时抵达会议现场的最小跳过休息次数
    • 1970. 你能穿过矩阵的最后一天
    • 2009. 使数组连续的最少操作数
    • 2025. 分割数组的最多方案数
    • 2030. 含特定字母的最小子序列
    • 2102. 序列顺序查询
    • 2141. 同时运行 N 台电脑的最长时间
    • 2179. 统计数组中好三元组数目 👍
    • 2209. 用地毯覆盖后的最少白色砖块
    • 2281.sum-of-total-strength-of-wizards
    • 2306. 公司命名
    • 2312. 卖木头块
    • 2842. 统计一个字符串的 k 子序列美丽值最大的数目
    • 2972. 统计移除递增子数组的数目 II
    • 3027. 人员站位的方案数 II
    • 3041. 修改数组后最大化数组中的连续元素数目
    • 3082. 求出所有子序列的能量和
    • 3108. 带权图里旅途的最小代价
    • 3347. 执行操作后元素的最高频率 II
    • 3336. 最大公约数相等的子序列数量
    • 3410. 删除所有值为某个元素后的最大子数组和
  • 后序
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在本页
  • 如何求最大公约数?
  • 定义法
  • 辗转相除法
  • 更相减损术
  • 形象化解释
  • 实例解析
  • 题目描述
  • 思路
  • 代码(Python3)
  • 总结

这有帮助吗?

  1. 第一章 - 算法专题

最大公约数

上一页小岛问题下一页并查集

最后更新于2年前

这有帮助吗?

关于最大公约数有专门的研究。 而在 LeetCode 中虽然没有直接让你求解最大公约数的题目。但是却有一些间接需要你求解最大公约数的题目。

比如:

因此如何求解最大公约数就显得重要了。

如何求最大公约数?

定义法

def GCD(a: int, b: int) -> int:
    smaller = min(a, b)
    while smaller:
        if a % smaller == 0 and b % smaller == 0:
            return smaller
        smaller -= 1

复杂度分析

  • 时间复杂度:最好的情况是执行一次循环体,最坏的情况是循环到 smaller 为 1,因此总的时间复杂度为 $O(N)$,其中 N 为 a 和 b 中较小的数。

  • 空间复杂度:$O(1)$。

辗转相除法

如果我们需要计算 a 和 b 的最大公约数,运用辗转相除法的话。首先,我们先计算出 a 除以 b 的余数 c,把问题转化成求出 b 和 c 的最大公约数;然后计算出 b 除以 c 的余数 d,把问题转化成求出 c 和 d 的最大公约数;再然后计算出 c 除以 d 的余数 e,把问题转化成求出 d 和 e 的最大公约数。..... 以此类推,逐渐把两个较大整数之间的运算转化为两个较小整数之间的运算,直到两个数可以整除为止。

def GCD(a: int, b: int) -> int:
    return a if b == 0 else GCD(b, a % b)

复杂度分析

  • 时间复杂度:$O(log(max(a, b)))$

  • 空间复杂度:空间复杂度取决于递归的深度,因此空间复杂度为 $O(log(max(a, b)))$

更相减损术

def GCD(a: int, b: int) -> int:
    if a == b:
        return a
    if a < b:
        return GCD(b - a, a)
    return GCD(a - b, b)

上面的代码会报栈溢出。原因在于如果 a 和 b 相差比较大的话,递归次数会明显增加,要比辗转相除法递归深度增加很多,最坏时间复杂度为 O(max(a, b)))。这个时候我们可以将辗转相除法和更相减损术做一个结合,从而在各种情况都可以获得较好的性能。

形象化解释

下面我们对上面的过程进行一个表形象地讲解,实际上这也是教材里面的讲解方式,我只是照搬过来,增加一下自己的理解罢了。我们来通过一个例子来讲解:

假如我们有一块 1680 米 * 640 米 的土地,我们希望将其分成若干正方形的土地,且我们想让正方形土地的边长尽可能大,我们应该如何设计算法呢?

实际上这正是一个最大公约数的应用场景,我们的目标就是求解 1680 和 640 的最大公约数。

将 1680 米 * 640 米 的土地分割,相当于对将 400 米 * 640 米 的土地进行分割。 为什么呢? 假如 400 米 * 640 米分割的正方形边长为 x,那么有 640 % x == 0,那么肯定也满足剩下的两块 640 米 * 640 米的。

我们不断进行上面的分割:

直到边长为 80,没有必要进行下去了。

实例解析

题目描述

给你三个数字 a,b,c,你需要找到第 n 个(n 从 0 开始)有序序列的值,这个有序序列是由 a,b,c 的整数倍构成的。

比如:
n = 8
a = 2
b = 5
c = 7

由于 2,5,7 构成的整数倍构成的有序序列为 [1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, ...],因此我们需要返回 12。

注意:我们约定,有序序列的第一个永远是 1。

思路

一个简单的思路是使用堆来做,唯一需要注意的是去重,我们可以使用一个哈希表来记录出现过的数字,以达到去重的目的。

代码:

ss Solution:
    def solve(self, n, a, b, c):
        seen = set()
        h = [(a, a, 1), (b, b, 1), (c, c, 1)]
        heapq.heapify(h)

        while True:
            cur, base, times = heapq.heappop(h)
            if cur not in seen:
                n -= 1
                seen.add(cur)
            if n == 0:
                return cur
            heapq.heappush(h, (base * (times + 1), base, times + 1))

然而这种做法时间复杂度太高,有没有更好的做法呢?

实际上,我们可对搜索空间进行二分。首先思考一个问题,如果给定一个数字 x,那么有序序列中小于等于 x 的值有几个。

答案是 x // a + x // b + x // c 吗?

// 是地板除

可惜不是的。比如 a = 2, b = 4, n = 4,答案显然不是 4 // 2 + 4 // 4 = 3,而是 2。这里出错的原因在于 4 被计算了两次,一次是 $2 * 2 = 4$,另一次是 $4 * 1 = 4$。

为了解决这个问题,我们可以通过集合论的知识。

一点点集合知识:

  • 如果把有序序列中小于等于 x 的可以被 x 整除,且是 a 的倍数的值构成的集合为 SA,集合大小为 A

  • 如果把有序序列中小于等于 x 的可以被 x 整除,且是 b 的倍数的值构成的集合为 SB,集合大小为 B

  • 如果把有序序列中小于等于 x 的可以被 x 整除,且是 c 的倍数的值构成的集合为 SC,集合大小为 C

那么最终的答案就是 SA ,SB,SC 构成的大的集合(需要去重)的中的数字的个数,也就是:

问题转化为 A 和 B 集合交集的个数如何求?

A 和 B,B 和 C, A 和 C ,甚至是 A,B,C 的交集求法都是一样的。

实际上, SA 和 SB 的交集个数就是 x // lcm(A, B),其中 lcm 为 A 和 B 的最小公倍数。而最小公倍数则可以通过最大公约数计算出来:

def lcm(x, y):
    return x * y // gcd(x, y)

代码(Python3)

class Solution:
    def solve(self, n, a, b, c):
        def gcd(x, y):
            if y == 0:
                return x
            return gcd(y, x % y)

        def lcm(x, y):
            return x * y // gcd(x, y)

        def possible(mid):
            return (mid // a + mid // b + mid // c - mid // lcm(a, b) - mid // lcm(b, c) - mid // lcm(a, c) + mid // lcm(a, lcm(b, c))) >= n

        l, r = 1, n * max(a, b, c)
        while l <= r:
            mid = (l + r) // 2
            if possible(mid):
                r = mid - 1
            else:
                l = mid + 1
        return l

复杂度分析

  • 时间复杂度:$logn$。

  • 空间复杂度:gcd 和 lcm 的递归树深度,基本可忽略不计。

总结

这篇文章的第二篇也马上要发布了。

辗转相除法如果 a 和 b 都很大的时候,a % b 性能会较低。在中国,《九章算术》中提到了一种类似辗转相减法的 。它的原理是:两个正整数 a 和 b(a>b),它们的最大公约数等于 a-b 的差值 c 和较小数 b 的最大公约数。。

大家可以通过 在线验证。

对于此解法不理解的可先看下我之前写的

A+B+C−sizeof(SA∩SB)−sizeof(SB∩SC)−sizeof(SA∩SC)+sizeof(SA∩SB∩SC)A + B + C - sizeof(SA \cap SB) - sizeof(SB \cap SC) - sizeof(SA \cap SC) + sizeof(SA \cap SB \cap SC)A+B+C−sizeof(SA∩SB)−sizeof(SB∩SC)−sizeof(SA∩SC)+sizeof(SA∩SB∩SC)

接下来就是二分套路了,二分部分看不懂的建议看下我的。

通过这篇文章,我们不仅明白了最大公约数的概念以及求法。也形象化地感知到了最大公约数计算的原理。最大公约数和最小公倍数是两个相似的概念, 关于最大公约数和最小公倍数的题目在力扣中不算少,大家可以通过数学标签找到这些题。更多关于算法中的数学知识,可以参考这篇文章

914. 卡牌分组
365. 水壶问题
1071. 字符串的最大公因子
更相减损术
这个网站
几乎刷完了力扣所有的堆题,我发现了这些东西。。。(第二弹)
二分专题
刷算法题必备的数学考点汇总