第五章 - 高频考题(中等)
1906. 查询差绝对值的最小值
1131.绝对值表达式的最大值

题目地址(1131. 绝对值表达式的最大值)

题目描述

1
给你两个长度相等的整数数组,返回下面表达式的最大值:
2
3
|arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j|
4
5
其中下标 i,j 满足 0 <= i, j < arr1.length。
6
7
示例 1:
8
9
输入:arr1 = [1,2,3,4], arr2 = [-1,4,5,6]
10
输出:13
11
示例 2:
12
13
输入:arr1 = [1,-2,-5,0,10], arr2 = [0,-2,-1,-7,-4]
14
输出:20
15
16
提示:
17
18
2 <= arr1.length == arr2.length <= 40000
19
-10^6 <= arr1[i], arr2[i] <= 10^6
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前置知识

  • 数组

解法一(数学分析)

公司

  • 阿里
  • 腾讯
  • 字节

思路

如图我们要求的是这样一个表达式的最大值。arr1 和 arr2 为两个不同的数组,且二者长度相同。i 和 j 是两个合法的索引。
红色竖线表示的是绝对值的符号
我们对其进行分类讨论,有如下八种情况:
|arr1[i] -arr1[j]| 两种情况 |arr2[i] -arr2[j]| 两种情况 |i - j| 两种情况 因此一共是 2 * 2 * 2 = 8 种
由于 i 和 j 之间没有大小关系,也就是说二者可以相互替代。因此:
  • 1 等价于 8
  • 2 等价于 7
  • 3 等价于 6
  • 4 等价于 5
也就是说我们只需要计算 1,2,3,4 的最大值就可以了。(当然你可以选择其他组合,只要完备就行)
为了方便,我们将 i 和 j 都提取到一起:
容易看出等式的最大值就是前面的最大值,和后面最小值的差值。如图:
再仔细观察,会发现前面部分和后面部分是一样的,原因还是上面所说的 i 和 j 可以互换。因此我们要做的就是:
  • 遍历一遍数组,然后计算四个表达式, arr1[i] + arr2[i] + i,arr1[i] - arr2[i] + i,arr2[i] - arr1[i] + i 和 -1 * arr2[i] - arr1[i] + i 的 最大值和最小值。
  • 然后分别取出四个表达式最大值和最小值的差值(就是这个表达式的最大值)
  • 四个表达式最大值再取出最大值

关键点

  • 数学分析

代码

1
class Solution:
2
def maxAbsValExpr(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
3
A = []
4
B = []
5
C = []
6
D = []
7
for i in range(len(arr1)):
8
a, b, c, d = arr1[i] + arr2[i] + i, arr1[i] - arr2[i] + \
9
i, arr2[i] - arr1[i] + i, -1 * arr2[i] - arr1[i] + i
10
A.append(a)
11
B.append(b)
12
C.append(c)
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D.append(d)
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return max(max(A) - min(A), max(B) - min(B), max(C) - min(C), max(D) - min(D))
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解法二(曼哈顿距离)

思路

一维曼哈顿距离可以理解为一条线上两点之间的距离: |x1 - x2|,其值为 max(x1 - x2, x2 - x1)
在平面上,坐标(x1, y1)的点 P1 与坐标(x2, y2)的点 P2 的曼哈顿距离为:|x1-x2| + |y1 - y2|,其值为 max(x1 - x2 + y1 - y2, x2 - x1 + y1 - y2, x1 - x2 + y2 - y1, x2 -x1 + y2 - y1)
然后这道题目是更复杂的三维曼哈顿距离,其中(i, arr[i], arr[j])可以看作三位空间中的一个点,问题转化为曼哈顿距离最远的两个点的距离。 延续上面的思路,|x1-x2| + |y1 - y2| + |z1 - z2|,其值为 :
max(
x1 - x2 + y1 - y2 + z1 - z2,
x1 - x2 + y1 - y2 + z2 - z1,
x2 - x1 + y1 - y2 + z1 - z2,
x2 - x1 + y1 - y2 + z2 - z1,
x1 - x2 + y2 - y1 + z1 - z2,
x1 - x2 + y2 - y1 + z2- z1,
x2 -x1 + y2 - y1 + z1 - z2,
x2 -x1 + y2 - y1 + z2 - z1
)
我们可以将 1 和 2 放在一起方便计算:
max(
x1 + y1 + z1 - (x2 + y2 + z2),
x1 + y1 - z1 - (x2 + y2 - z2)
...
)
我们甚至可以扩展到 n 维,具体代码见下方。

关键点

  • 曼哈顿距离
  • 曼哈顿距离代码模板
解题模板可以帮助你快速并且更少错误的解题,更多解题模板请期待我的新书(未完成)

代码

1
class Solution:
2
def maxAbsValExpr(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
3
# 曼哈顿距离模板代码
4
sign = [1, -1]
5
n = len(arr1)
6
dists = []
7
# 三维模板
8
for a in sign:
9
for b in sign:
10
for c in sign:
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maxDist = float('-inf')
12
minDist = float('inf')
13
# 分别计算所有点的曼哈顿距离
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for i in range(n):
15
dist = arr1[i] * a + arr2[i] * b + i * c
16
maxDist = max(maxDist, dist)
17
minDist = min(minDist, dist)
18
# 将所有的点的曼哈顿距离放到dists中
19
dists.append(maxDist - minDist)
20
return max(dists)
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复杂度分析
  • 时间复杂度:$O(N^3)$
  • 空间复杂度:$O(N)$

总结

可以看出其实两种解法都是一样的,只是思考角度不一样。

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