1131.绝对值表达式的最大值

题目地址(1131. 绝对值表达式的最大值)

https://leetcode-cn.com/problems/maximum-of-absolute-value-expression/

题目描述


给你两个长度相等的整数数组,返回下面表达式的最大值:

|arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j|

其中下标 i,j 满足 0 <= i, j < arr1.length。

示例 1:

输入:arr1 = [1,2,3,4], arr2 = [-1,4,5,6]
输出:13
示例 2:

输入:arr1 = [1,-2,-5,0,10], arr2 = [0,-2,-1,-7,-4]
输出:20

提示:

2 <= arr1.length == arr2.length <= 40000
-10^6 <= arr1[i], arr2[i] <= 10^6

前置知识

  • 数组

解法一(数学分析)

公司

  • 阿里

  • 腾讯

  • 字节

思路

如图我们要求的是这样一个表达式的最大值。arr1 和 arr2 为两个不同的数组,且二者长度相同。i 和 j 是两个合法的索引。

红色竖线表示的是绝对值的符号

我们对其进行分类讨论,有如下八种情况:

|arr1[i] -arr1[j]| 两种情况 |arr2[i] -arr2[j]| 两种情况 |i - j| 两种情况 因此一共是 2 * 2 * 2 = 8 种

由于 i 和 j 之间没有大小关系,也就是说二者可以相互替代。因此:

  • 1 等价于 8

  • 2 等价于 7

  • 3 等价于 6

  • 4 等价于 5

也就是说我们只需要计算 1,2,3,4 的最大值就可以了。(当然你可以选择其他组合,只要完备就行)

为了方便,我们将 i 和 j 都提取到一起:

容易看出等式的最大值就是前面的最大值,和后面最小值的差值。如图:

再仔细观察,会发现前面部分和后面部分是一样的,原因还是上面所说的 i 和 j 可以互换。因此我们要做的就是:

  • 遍历一遍数组,然后计算四个表达式, arr1[i] + arr2[i] + i,arr1[i] - arr2[i] + i,arr2[i] - arr1[i] + i 和 -1 * arr2[i] - arr1[i] + i 的 最大值和最小值。

  • 然后分别取出四个表达式最大值和最小值的差值(就是这个表达式的最大值)

  • 四个表达式最大值再取出最大值

关键点

  • 数学分析

代码

class Solution:
    def maxAbsValExpr(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
        A = []
        B = []
        C = []
        D = []
        for i in range(len(arr1)):
            a, b, c, d = arr1[i] + arr2[i] + i, arr1[i] - arr2[i] + \
                i, arr2[i] - arr1[i] + i, -1 * arr2[i] - arr1[i] + i
            A.append(a)
            B.append(b)
            C.append(c)
            D.append(d)
        return max(max(A) - min(A), max(B) - min(B), max(C) - min(C), max(D) - min(D))

解法二(曼哈顿距离)

思路

(图来自: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%BC%E5%93%88%E9%A0%93%E8%B7%9D%E9%9B%A2)

一维曼哈顿距离可以理解为一条线上两点之间的距离: |x1 - x2|,其值为 max(x1 - x2, x2 - x1)

在平面上,坐标(x1, y1)的点 P1 与坐标(x2, y2)的点 P2 的曼哈顿距离为:|x1-x2| + |y1 - y2|,其值为 max(x1 - x2 + y1 - y2, x2 - x1 + y1 - y2, x1 - x2 + y2 - y1, x2 -x1 + y2 - y1)

然后这道题目是更复杂的三维曼哈顿距离,其中(i, arr[i], arr[j])可以看作三位空间中的一个点,问题转化为曼哈顿距离最远的两个点的距离。 延续上面的思路,|x1-x2| + |y1 - y2| + |z1 - z2|,其值为 :

max(

x1 - x2 + y1 - y2 + z1 - z2,

x1 - x2 + y1 - y2 + z2 - z1,

x2 - x1 + y1 - y2 + z1 - z2,

x2 - x1 + y1 - y2 + z2 - z1,

x1 - x2 + y2 - y1 + z1 - z2,

x1 - x2 + y2 - y1 + z2- z1,

x2 -x1 + y2 - y1 + z1 - z2,

x2 -x1 + y2 - y1 + z2 - z1

)

我们可以将 1 和 2 放在一起方便计算:

max(

x1 + y1 + z1 - (x2 + y2 + z2),

x1 + y1 - z1 - (x2 + y2 - z2)

...

)

我们甚至可以扩展到 n 维,具体代码见下方。

关键点

  • 曼哈顿距离

  • 曼哈顿距离代码模板

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代码

class Solution:
    def maxAbsValExpr(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
        # 曼哈顿距离模板代码
        sign = [1, -1]
        n = len(arr1)
        dists = []
        # 三维模板
        for a in sign:
            for b in sign:
                for c in sign:
                    maxDist = float('-inf')
                    minDist = float('inf')
                    # 分别计算所有点的曼哈顿距离
                    for i in range(n):
                        dist = arr1[i] * a + arr2[i] * b + i * c
                        maxDist = max(maxDist, dist)
                        minDist = min(minDist, dist)
                    # 将所有的点的曼哈顿距离放到dists中
                    dists.append(maxDist - minDist)
        return max(dists)

复杂度分析

  • 时间复杂度:$O(N^3)$

  • 空间复杂度:$O(N)$

总结

可以看出其实两种解法都是一样的,只是思考角度不一样。

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