Consecutive Wins

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题目描述

You are given integers n and k. Given that n represents the number of games you will play, return the number of ways in which you win k or less games consecutively. Mod the result by 10 ** 9 + 7.

Constraints

n ≤ 10,000
k ≤ 10
Example 1
Input
n = 3
k = 2
Output
7
Explanation
Here are the ways in which we can win 2 or fewer times consecutively:

"LLL"
"WLL"
"LWL"
"LLW"
"WWL"
"LWW"

前置知识

• 递归树

• 动态规划

公司

• 暂无

思路

定义 f(i, j) 表示 i 次比赛连续赢 j 次的总的可能数目。 其实也就是长度为 n - i 的字符串中连续 w 的次数不超过 j 的总的可能数，其中 字符串中的字符只能是 L 或 W。

经过这样的定义之后，我们的答案应该是 f(0, 0)。

实际上，也就是问动态规划的转移方程是什么。

对于 f(0, 0)，我们可以：

• 在末尾增加一个 L，也就是输一局。用公式表示就是 f(1, 0)

• 在末尾增加一个 W，也就是赢一局。用公式表示就是 f(1, 1)

用图来表示就是如下的样子：

图采用力扣加加刷题插件制作

不是一般性，我们可以得出如下的转移方程：

$$f(i, j)=\left\{ \begin{aligned} f(i+1, 0) + f(i+1, j+1) & & j < k \\ f(i+1, 0) & & j = k \\ \end{aligned} \right.$$

那么我们的目标其实就是计算图中叶子节点（绿色节点）的总个数。

注意 f(3,3) 是不合法的，我们不应该将其计算进去。

上面使我们的递归树代码，可以看出有很多重复的计算。这提示我们使用记忆化递归来解决。使用记忆化递归，总的时间复杂度 节点总数 * 单个节点的操作数。树的节点总数是 n * k，单个节点的操作是常数。故总的时间复杂度为 $O(n * k)，空间复杂度是使用的递归深度 + 记忆化使用的额外空间。其中递归深度是 $n$，记忆化的空间为 $n * k$，忽略低次项后空间复杂度为 $O(n * k)$

代码

代码支持：Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def solve(self, n, k):
        @lru_cache(None)
        def dp(i, cnt):
            if i == n:
                return 1
            ans = dp(i + 1, 0)  # place L
            if cnt < k:
                ans += dp(i + 1, cnt + 1)  # place W if I can
            return ans

        return dp(0, 0) % (10 ** 9 + 7)

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n * k)$

• 空间复杂度：$O(n * k)$