第五章 - 高频考题(中等)
1906. 查询差绝对值的最小值
Consecutive Wins

题目描述

You are given integers n and k. Given that n represents the number of games you will play, return the number of ways in which you win k or less games consecutively. Mod the result by 10 ** 9 + 7.
Constraints
n ≤ 10,000
k ≤ 10
Example 1
Input
n = 3
k = 2
Output
7
Explanation
Here are the ways in which we can win 2 or fewer times consecutively:
"LLL"
"WLL"
"LWL"
"LLW"
"WWL"
"LWW"

前置知识

  • 递归树
  • 动态规划

公司

  • 暂无

思路

定义 f(i, j) 表示 i 次比赛连续赢 j 次的总的可能数目。 其实也就是长度为 n - i 的字符串中连续 w 的次数不超过 j 的总的可能数,其中 字符串中的字符只能是 L 或 W。
经过这样的定义之后,我们的答案应该是 f(0, 0)。
实际上,也就是问动态规划的转移方程是什么。
对于 f(0, 0),我们可以:
  • 在末尾增加一个 L,也就是输一局。用公式表示就是 f(1, 0)
  • 在末尾增加一个 W,也就是赢一局。用公式表示就是 f(1, 1)
用图来表示就是如下的样子:
图采用力扣加加刷题插件制作
不是一般性,我们可以得出如下的转移方程:
f(i,j)={f(i+1,0)+f(i+1,j+1)j<kf(i+1,0)j=kf(i, j)=\left\{ \begin{aligned} f(i+1, 0) + f(i+1, j+1) & & j < k \\ f(i+1, 0) & & j = k \\ \end{aligned} \right.
那么我们的目标其实就是计算图中叶子节点(绿色节点)的总个数。
注意 f(3,3) 是不合法的,我们不应该将其计算进去。
上面使我们的递归树代码,可以看出有很多重复的计算。这提示我们使用记忆化递归来解决。使用记忆化递归,总的时间复杂度 节点总数 * 单个节点的操作数。树的节点总数是 n * k,单个节点的操作是常数。故总的时间复杂度为 $O(n * k),空间复杂度是使用的递归深度 + 记忆化使用的额外空间。其中递归深度是 $n$,记忆化的空间为 $n k$,忽略低次项后空间复杂度为 $O(n k)$

代码

代码支持:Python3
Python3 Code:
class Solution:
def solve(self, n, k):
@lru_cache(None)
def dp(i, cnt):
if i == n:
return 1
ans = dp(i + 1, 0) # place L
if cnt < k:
ans += dp(i + 1, cnt + 1) # place W if I can
return ans
return dp(0, 0) % (10 ** 9 + 7)
复杂度分析
  • 时间复杂度:$O(n * k)$
  • 空间复杂度:$O(n * k)$