第五章 - 高频考题(中等)
1906. 查询差绝对值的最小值
2008. 出租车的最大盈利

题目地址(2008. 出租车的最大盈利)

题目描述

你驾驶出租车行驶在一条有 n 个地点的路上。这 n 个地点从近到远编号为 1 到 n ,你想要从 1 开到 n ,通过接乘客订单盈利。你只能沿着编号递增的方向前进,不能改变方向。
乘客信息用一个下标从 0 开始的二维数组 rides 表示,其中 rides[i] = [starti, endi, tipi] 表示第 i 位乘客需要从地点 starti 前往 endi ,愿意支付 tipi 元的小费。
每一位 你选择接单的乘客 i ,你可以 盈利 endi - starti + tipi 元。你同时 最多 只能接一个订单。
给你 n 和 rides ,请你返回在最优接单方案下,你能盈利 最多 多少元。
注意:你可以在一个地点放下一位乘客,并在同一个地点接上另一位乘客。
示例 1:
输入:n = 5, rides = [[2,5,4],[1,5,1]]
输出:7
解释:我们可以接乘客 0 的订单,获得 5 - 2 + 4 = 7 元。
示例 2:
输入:n = 20, rides = [[1,6,1],[3,10,2],[10,12,3],[11,12,2],[12,15,2],[13,18,1]]
输出:20
解释:我们可以接以下乘客的订单:
- 将乘客 1 从地点 3 送往地点 10 ,获得 10 - 3 + 2 = 9 元。
- 将乘客 2 从地点 10 送往地点 12 ,获得 12 - 10 + 3 = 5 元。
- 将乘客 5 从地点 13 送往地点 18 ,获得 18 - 13 + 1 = 6 元。
我们总共获得 9 + 5 + 6 = 20 元。
提示:
1 <= n <= 10^5
1 <= rides.length <= 3 * 104
rides[i].length == 3
1 <= starti < endi <= n
1 <= tipi <= 105

前置知识

  • 动态规划
  • 二分

公司

  • 暂无

思路

这是一个典型的最长上升子序列(LIS)问题。如果你对最长上升子序列不熟悉,强烈建议先看一下我之前写的专题:https://lucifer.ren/blog/2020/06/20/LIS/
LIS 问题的常规做法是 $n^2$ , 而这道题的数据范围是 $10^5$, 这意味着我们使用平方的解法是无法通过的。关于这点不明白的可以看下我之前写的文章:https://lucifer.ren/blog/2020/12/21/shuati-silu3/
我们可以用动态规划来解, dp[i] 表示仅考虑 rides 0 到 i (左右闭合区间),所能挣的最多的钱。因此 dp[len(rides)-1] 就是答案。
那么状态如何转移呢?传统的 LIS 问题,对于每一个 j 我们都向前找到第一个满足 rides[j][0] >= rides[i][1] 的 i,我们需要两层循环枚举所有可能。那么如何优化呢?
实际上前面的文章也提到过,这里再次强调一下。由于我们需要向前找到第一个满足 rides[j][0] >= rides[i][1] 的 i,那么我们可以先对结束时间排序,接下来二分找到最右满足条件的 i,这样时间复杂度可以降低到 $nlogn$。 由于这是一个典型的最右满足条件的二分,我们直接使用模板解决。不熟悉二分的可以看下我的二分专题:https://lucifer.ren/blog/2021/03/08/binary-search-1/
由于我们是找满足条件的 dp[i][1] ,因此需要对结束时间而不是开始时间排序

关键点

  • 二分优化时间复杂度

代码

  • 语言支持:Python3
Python3 Code:
class Solution:
def maxTaxiEarnings(self, n: int, rides: List[List[int]]) -> int:
rides.sort(key=lambda x:x[1])
n = len(rides)
dp = [e-s+t for s,e,t in rides]
def bisect_right(rides, i):
l, r = 0, i
while l <= r:
mid = (l+r)//2
if rides[i][0] >= rides[mid][1]:
l = mid + 1
else:
r = mid - 1
return r
for j in range(1, n):
i = bisect_right(rides, j)
if i == -1:
dp[j] = max(dp[j], dp[j-1])
else:
dp[j] = max(dp[j], dp[j-1], dp[i] + rides[j][1] - rides[j][0] + rides[j][2])
return max(dp)
复杂度分析
令 n 为数组长度。
  • 时间复杂度:$O(nlogn)$
  • 空间复杂度:$O(n)$
此题解由 力扣刷题插件 自动生成。
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