2008. 出租车的最大盈利

题目地址(2008. 出租车的最大盈利)

https://leetcode-cn.com/problems/maximum-earnings-from-taxi/

题目描述

你驾驶出租车行驶在一条有 n 个地点的路上。这 n 个地点从近到远编号为 1 到 n ，你想要从 1 开到 n ，通过接乘客订单盈利。你只能沿着编号递增的方向前进，不能改变方向。

乘客信息用一个下标从 0 开始的二维数组 rides 表示，其中 rides[i] = [starti, endi, tipi] 表示第 i 位乘客需要从地点 starti 前往 endi ，愿意支付 tipi 元的小费。

每一位 你选择接单的乘客 i ，你可以 盈利 endi - starti + tipi 元。你同时 最多 只能接一个订单。

给你 n 和 rides ，请你返回在最优接单方案下，你能盈利 最多 多少元。

注意：你可以在一个地点放下一位乘客，并在同一个地点接上另一位乘客。

 

示例 1：

输入：n = 5, rides = [[2,5,4],[1,5,1]]
输出：7
解释：我们可以接乘客 0 的订单，获得 5 - 2 + 4 = 7 元。


示例 2：

输入：n = 20, rides = [[1,6,1],[3,10,2],[10,12,3],[11,12,2],[12,15,2],[13,18,1]]
输出：20
解释：我们可以接以下乘客的订单：
- 将乘客 1 从地点 3 送往地点 10 ，获得 10 - 3 + 2 = 9 元。
- 将乘客 2 从地点 10 送往地点 12 ，获得 12 - 10 + 3 = 5 元。
- 将乘客 5 从地点 13 送往地点 18 ，获得 18 - 13 + 1 = 6 元。
我们总共获得 9 + 5 + 6 = 20 元。

 

提示：

1 <= n <= 10^5
1 <= rides.length <= 3 * 104
rides[i].length == 3
1 <= starti < endi <= n
1 <= tipi <= 105

前置知识

动态规划
二分

公司

暂无

思路

这是一个典型的最长上升子序列（LIS）问题。如果你对最长上升子序列不熟悉，强烈建议先看一下我之前写的专题：https://lucifer.ren/blog/2020/06/20/LIS/

LIS 问题的常规做法是 $n^2$ ，而这道题的数据范围是 $10^5$，这意味着我们使用平方的解法是无法通过的。关于这点不明白的可以看下我之前写的文章：https://lucifer.ren/blog/2020/12/21/shuati-silu3/

我们可以用动态规划来解， dp[i] 表示仅考虑 rides 0 到 i （左右闭合区间），所能挣的最多的钱。因此 dp[len(rides)-1] 就是答案。

那么状态如何转移呢？传统的 LIS 问题，对于每一个 j 我们都向前找到第一个满足 rides[j][0] >= rides[i][1] 的 i，我们需要两层循环枚举所有可能。那么如何优化呢？

实际上前面的文章也提到过，这里再次强调一下。由于我们需要向前找到第一个满足 rides[j][0] >= rides[i][1] 的 i，那么我们可以先对结束时间排序，接下来二分找到最右满足条件的 i，这样时间复杂度可以降低到 $nlogn$。由于这是一个典型的最右满足条件的二分，我们直接使用模板解决。不熟悉二分的可以看下我的二分专题：https://lucifer.ren/blog/2021/03/08/binary-search-1/

由于我们是找满足条件的 dp[i][1] ，因此需要对结束时间而不是开始时间排序

关键点

二分优化时间复杂度

代码

语言支持：Python3

Python3 Code:


class Solution:
    def maxTaxiEarnings(self, n: int, rides: List[List[int]]) -> int:
        rides.sort(key=lambda x:x[1])

        n = len(rides)
        dp = [e-s+t for s,e,t in rides]
        def bisect_right(rides, i):
            l, r = 0, i
            while l <= r:
                mid = (l+r)//2
                if rides[i][0] >= rides[mid][1]:
                    l = mid + 1
                else:
                    r = mid - 1
            return r
        for j in range(1, n):
            i = bisect_right(rides, j)
            if i == -1:
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-1])
            else:
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-1], dp[i] + rides[j][1] - rides[j][0] + rides[j][2])
        return max(dp)

复杂度分析

令 n 为数组长度。

时间复杂度：$O(nlogn)$
空间复杂度：$O(n)$

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