1128. 等价多米诺骨牌对的数量

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题目描述

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给你一个由一些多米诺骨牌组成的列表 dominoes。
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如果其中某一张多米诺骨牌可以通过旋转 0 度或 180 度得到另一张多米诺骨牌,我们就认为这两张牌是等价的。
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形式上,dominoes[i] = [a, b] 和 dominoes[j] = [c, d] 等价的前提是 a==c 且 b==d,或是 a==d 且 b==c。
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在 0 <= i < j < dominoes.length 的前提下,找出满足 dominoes[i] 和 dominoes[j] 等价的骨牌对 (i, j) 的数量。
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示例:
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输入:dominoes = [[1,2],[2,1],[3,4],[5,6]]
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输出:1
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提示:
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1 <= dominoes.length <= 40000
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1 <= dominoes[i][j] <= 9
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前置知识

  • 组合计数

“排序” + 计数

思路

我们可以用一个哈希表存储所有的 [a,b] 对的计数信息。为了让形如 [3,4] 和 [4,3]被算到一起,我们可以对其进行排序处理。由于 dominoe 长度固定为 2,因此只需要判断两者的大小并选择性交换即可
接下来,可以使用组合公式 $C{n}^{2}$ 计算等价骨牌对的数量,其中 n 为单个骨牌的数量。 比如排序后 [3,4] 骨牌对有 5 个,那么 n 就是 5,由 [3,4]构成的等价骨牌对的数量就是 $C{5}^{2} = 5\times(5-1)\div2 = 10$ 个。

代码

代码支持:Python3
Python3 Code:
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class Solution:
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def numEquivDominoPairs(self, dominoes: List[List[int]]) -> int:
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n = len(dominoes)
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cnt = 0
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cntMapper = dict()
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for a, b in dominoes:
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k = str(a) + str(b) if a > b else str(b) + str(a)
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cntMapper[k] = cntMapper.get(k, 0) + 1
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for k in cntMapper:
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v = cntMapper[k]
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if v > 1:
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cnt += (v * (v - 1)) // 2
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return cnt
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复杂度分析
令 N 为数组长度。
  • 时间复杂度:$O(N)$
  • 空间复杂度:$O(N)$

状态压缩 + 一次遍历

思路

观察到题目给的数据范围是 1 <= dominoes[i][j] <= 9。这个数字很小,很容易让人想到状态压缩。关于状态压缩这部分可以看我之前写过的题解状压 DP 是什么?这篇题解带你入门
由于数字不会超过 9,因此使用一个 5 bit 表示就足够了。
我们可以用两个 5 bit 分别表示 a 和 b,即一共 10 个 bit 就够了。10 个 bit 一共最多 1024 种状态,因此使用一个 1024 大小的数组是足够的。
上面代码我们是先进行一次遍历,求出计数信息。然后再次遍历计算总和。实际上,我们可以将两者合二为一,专业的话来说就是 One Pass,中文是一次遍历。
注意到我们前面计算总和用到了组合公式 $C_{n}^{2}$,等价于 $n\times(n-1)\div{2}$,这其实就是等差数列 1,2,3....n-1的求和公式。同时注意到我们的计数信息也是每次增加 1 的,即从 0 -> 1, 1 -> 2, n - 1 -> n。也就是说我们的计数信息其实就是公差为 1 的等差数列,正好对应前面写的等差数列。那我们是不是可以从 1 开始累加计数信息,直到 n -1(注意不是 n)。
力扣中有好几个题目都使用到了这种 One Pass 技巧。

代码

代码支持:Python3
Python3 Code:
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counts = [0] * 1024
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ans = 0
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for a, b in dominoes:
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if a >= b: v = a <<5 | b
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else: v = b << 5 | a
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ans += counts[v]
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counts[v] += 1
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return ans
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复杂度分析
令 N 为数组长度。
  • 时间复杂度:$O(N)$
  • 空间复杂度:$O(1024)$

状态压缩优化

思路

代码上,我使用了 int 来存储,因此实际上会用 32 个字节(取决于不同的编程语言),这并没有发挥二进制的状态压缩的优点。由于 1 <= dominoes[i][j] <= 9,我们也可直接用 9 进制来存,刚好 9 * 9 = 81 种状态。 这样开辟一个大小为 81 的数组即可。

代码

代码支持:Python3
Python3 Code:
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class Solution:
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def numEquivDominoPairs(self, dominoes: List[List[int]]) -> int:
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counts = [0] * 9 * 9
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ans = 0
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for a, b in dominoes:
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v = min((a - 1) * 9 + (b - 1), (b - 1) * 9 + (a - 1))
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ans += counts[v]
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counts[v] += 1
9
return ans
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复杂度分析
令 N 为数组长度。
  • 时间复杂度:$O(N)$
  • 空间复杂度:$O(81)$

关键点

  • 使用状态压缩可提高性能
  • 使用求和公式技巧可在一次遍历内计算结果