1128. 等价多米诺骨牌对的数量

题目地址（1128. 等价多米诺骨牌对的数量）

https://leetcode-cn.com/problems/number-of-equivalent-domino-pairs/

题目描述

给你一个由一些多米诺骨牌组成的列表 dominoes。

如果其中某一张多米诺骨牌可以通过旋转 0 度或 180 度得到另一张多米诺骨牌，我们就认为这两张牌是等价的。

形式上，dominoes[i] = [a, b] 和 dominoes[j] = [c, d] 等价的前提是 a==c 且 b==d，或是 a==d 且 b==c。

在 0 <= i < j < dominoes.length 的前提下，找出满足 dominoes[i] 和 dominoes[j] 等价的骨牌对 (i, j) 的数量。



示例：

输入：dominoes = [[1,2],[2,1],[3,4],[5,6]]
输出：1


提示：

1 <= dominoes.length <= 40000
1 <= dominoes[i][j] <= 9

前置知识

• 组合计数

“排序” + 计数

思路

我们可以用一个哈希表存储所有的 [a,b] 对的计数信息。为了让形如 [3,4] 和 [4,3]被算到一起，我们可以对其进行排序处理。由于 dominoe 长度固定为 2，因此只需要判断两者的大小并选择性交换即可。

接下来，可以使用组合公式 $C{n}^{2}$ 计算等价骨牌对的数量，其中 n 为单个骨牌的数量。 比如排序后 [3,4] 骨牌对有 5 个，那么 n 就是 5，由 [3,4]构成的等价骨牌对的数量就是 $C{5}^{2} = 5\times(5-1)\div2 = 10$ 个。

代码

代码支持：Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def numEquivDominoPairs(self, dominoes: List[List[int]]) -> int:
        n = len(dominoes)
        cnt = 0
        cntMapper = dict()

        for a, b in dominoes:
            k = str(a) + str(b) if a > b else str(b) + str(a)
            cntMapper[k] = cntMapper.get(k, 0) + 1
        for k in cntMapper:
            v = cntMapper[k]
            if v > 1:
                cnt += (v * (v - 1)) // 2
        return cnt

复杂度分析

令 N 为数组长度。

• 时间复杂度：$O(N)$

• 空间复杂度：$O(N)$

状态压缩 + 一次遍历

思路

观察到题目给的数据范围是 1 <= dominoes[i][j] <= 9。这个数字很小，很容易让人想到状态压缩。关于状态压缩这部分可以看我之前写过的题解状压 DP 是什么？这篇题解带你入门

由于数字不会超过 9，因此使用一个 5 bit 表示就足够了。

我们可以用两个 5 bit 分别表示 a 和 b，即一共 10 个 bit 就够了。10 个 bit 一共最多 1024 种状态，因此使用一个 1024 大小的数组是足够的。

上面代码我们是先进行一次遍历，求出计数信息。然后再次遍历计算总和。实际上，我们可以将两者合二为一，专业的话来说就是 One Pass，中文是一次遍历。

注意到我们前面计算总和用到了组合公式 $C_{n}^{2}$，等价于 $n\times(n-1)\div{2}$，这其实就是等差数列 1,2,3....n-1的求和公式。同时注意到我们的计数信息也是每次增加 1 的，即从 0 -> 1, 1 -> 2, n - 1 -> n。也就是说我们的计数信息其实就是公差为 1 的等差数列，正好对应前面写的等差数列。那我们是不是可以从 1 开始累加计数信息，直到 n -1（注意不是 n）。

力扣中有好几个题目都使用到了这种 One Pass 技巧。

代码

代码支持：Python3

Python3 Code:

       counts = [0] * 1024
        ans = 0
        for a, b in dominoes:
            if a >= b: v = a <<5 | b
            else: v = b << 5 | a
            ans += counts[v]
            counts[v] += 1
        return ans

复杂度分析

令 N 为数组长度。

• 时间复杂度：$O(N)$

• 空间复杂度：$O(1024)$

状态压缩优化

思路

代码上，我使用了 int 来存储，因此实际上会用 32 个字节（取决于不同的编程语言），这并没有发挥二进制的状态压缩的优点。由于 1 <= dominoes[i][j] <= 9，我们也可直接用 9 进制来存，刚好 9 * 9 = 81 种状态。 这样开辟一个大小为 81 的数组即可。

代码

代码支持：Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def numEquivDominoPairs(self, dominoes: List[List[int]]) -> int:
        counts = [0] * 9 * 9
        ans = 0
        for a, b in dominoes:
            v = min((a - 1) * 9 + (b - 1), (b - 1) * 9 + (a - 1))
            ans += counts[v]
            counts[v] += 1
        return ans

复杂度分析

令 N 为数组长度。

• 时间复杂度：$O(N)$

• 空间复杂度：$O(81)$

关键点

• 使用状态压缩可提高性能

• 使用求和公式技巧可在一次遍历内计算结果