# 1128. 等价多米诺骨牌对的数量 ## 题目地址（1128. 等价多米诺骨牌对的数量） ## 题目描述 ``` 给你一个由一些多米诺骨牌组成的列表 dominoes。 如果其中某一张多米诺骨牌可以通过旋转 0 度或 180 度得到另一张多米诺骨牌，我们就认为这两张牌是等价的。 形式上，dominoes[i] = [a, b] 和 dominoes[j] = [c, d] 等价的前提是 a==c 且 b==d，或是 a==d 且 b==c。 在 0 <= i < j < dominoes.length 的前提下，找出满足 dominoes[i] 和 dominoes[j] 等价的骨牌对 (i, j) 的数量。 示例： 输入：dominoes = [[1,2],[2,1],[3,4],[5,6]] 输出：1 提示： 1 <= dominoes.length <= 40000 1 <= dominoes[i][j] <= 9 ``` ## 前置知识 * 组合计数 ## “排序” + 计数 ### 思路 我们可以用一个哈希表存储所有的 \[a,b] 对的计数信息。为了让形如 \[3,4] 和 \[4,3]被算到一起，我们可以对其进行排序处理。由于 dominoe 长度固定为 2，因此只需要**判断两者的大小并选择性交换即可**。 接下来，可以使用组合公式 $C*{n}^{2}$ 计算等价骨牌对的数量，其中 n 为单个骨牌的数量。 比如**排序后** \[3,4] 骨牌对有 5 个，那么 n 就是 5，由 \[3,4]构成的等价骨牌对的数量就是 $C*{5}^{2} = 5\times(5-1)\div2 = 10$ 个。 ### 代码 代码支持：Python3 Python3 Code: ```python class Solution: def numEquivDominoPairs(self, dominoes: List[List[int]]) -> int: n = len(dominoes) cnt = 0 cntMapper = dict() for a, b in dominoes: k = str(a) + str(b) if a > b else str(b) + str(a) cntMapper[k] = cntMapper.get(k, 0) + 1 for k in cntMapper: v = cntMapper[k] if v > 1: cnt += (v * (v - 1)) // 2 return cnt ``` **复杂度分析** 令 N 为数组长度。 * 时间复杂度：$O(N)$ * 空间复杂度：$O(N)$ ## 状态压缩 + 一次遍历 ### 思路 观察到题目给的数据范围是 `1 <= dominoes[i][j] <= 9`。这个数字很小，很容易让人想到状态压缩。关于状态压缩这部分可以看我之前写过的题解[状压 DP 是什么？这篇题解带你入门](https://mp.weixin.qq.com/s/ecxTTrRvUJbdWwSFbKgDiw) 由于数字不会超过 9，因此使用一个 5 bit 表示就足够了。 我们可以用两个 5 bit 分别表示 a 和 b，即一共 10 个 bit 就够了。10 个 bit 一共最多 1024 种状态，因此使用一个 1024 大小的数组是足够的。 上面代码我们是先进行一次遍历，求出计数信息。然后再次遍历计算总和。实际上，我们可以将两者合二为一，专业的话来说就是 **One Pass**，中文是一次遍历。 注意到我们前面计算总和用到了组合公式 $C\_{n}^{2}$，等价于 $n\times(n-1)\div{2}$，这其实就是等差数列 `1,2,3....n-1`的求和公式。同时注意到我们的计数信息也是每次增加 1 的，即从 0 -> 1, 1 -> 2, n - 1 -> n。也就是说**我们的计数信息其实就是公差为 1 的等差数列，正好对应前面写的等差数列**。那我们是不是可以从 1 开始累加计数信息，直到 n -1（注意不是 n）。 > 力扣中有好几个题目都使用到了这种 One Pass 技巧。 ### 代码 代码支持：Python3 Python3 Code: ```python counts = [0] * 1024 ans = 0 for a, b in dominoes: if a >= b: v = a <<5 | b else: v = b << 5 | a ans += counts[v] counts[v] += 1 return ans ``` **复杂度分析** 令 N 为数组长度。 * 时间复杂度：$O(N)$ * 空间复杂度：$O(1024)$ ## 状态压缩优化 ### 思路 代码上，我使用了 int 来存储，因此实际上会用 32 个字节（取决于不同的编程语言），这并没有发挥二进制的状态压缩的优点。由于 `1 <= dominoes[i][j] <= 9`，我们也可直接用 9 进制来存，刚好 `9 * 9 = 81` 种状态。 这样开辟一个大小为 81 的数组即可。 ### 代码 代码支持：Python3 Python3 Code: ```python class Solution: def numEquivDominoPairs(self, dominoes: List[List[int]]) -> int: counts = [0] * 9 * 9 ans = 0 for a, b in dominoes: v = min((a - 1) * 9 + (b - 1), (b - 1) * 9 + (a - 1)) ans += counts[v] counts[v] += 1 return ans ``` **复杂度分析** 令 N 为数组长度。 * 时间复杂度：$O(N)$ * 空间复杂度：$O(81)$ ## 关键点 * 使用状态压缩可提高性能 * 使用求和公式技巧可在一次遍历内计算结果