0124. 二叉树中的最大路径和

题目地址(124. 二叉树中的最大路径和)

https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-maximum-path-sum/description/

题目描述


给定一个非空二叉树，返回其最大路径和。

本题中，路径被定义为一条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列。该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。

示例 1：

输入：[1,2,3]

       1
      / \
     2   3

输出：6
示例 2：

输入：[-10,9,20,null,null,15,7]

   -10
   / \
  9  20
    /  \
   15   7

输出：42

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思路

这道题目的 path 让我误解了，然后浪费了很多时间来解这道题。我觉得 leetcode 给的 demo 太少了，不足以让我理解 path 的概念因此我这里自己画了一个图，来补充一下，帮助大家理解 path 的概念，不要像我一样理解错啦。

首先是官网给的两个例子：

接着是我自己画的一个例子：

如图红色的部分是最大路径上的节点。大家可以结合上面的 demo 来继续理解一下 path，除非你理解了 path，否则不要往下看。

树的题目，基本都是考察递归思想的。因此我们需要思考如何去定义我们的递归函数，在这里我定义了一个递归函数，它的功能是，返回以当前节点为根节点的MaxPath

但是有两个条件:

根节点必须选择
左右子树只能选择一个

为什么要有这两个条件?

我的想法是原问题可以转化为：以每一个节点为根节点，分别求出 MaxPath，最后计算最大值，因此第一个条件需要满足.

对于第二个条件，由于递归函数子节点的返回值会被父节点使用，因此我们如果两个孩子都选择了就不符合 MaxPath 的定义了。实际上这道题，当遍历到某一个节点的时候，我们需要子节点的信息，然后同时结合自身的 val 来决定要不要选取左右子树以及选取的话要选哪一个，因此这个过程本质上就是后序遍历

基本算法就是不断调用递归函数，然后在调用过程中不断计算和更新 MaxPath，最后在主函数中将 MaxPath 返回即可。

关键点解析

递归
理解题目中的 path 定义

代码

代码支持：JavaScript，Java，Python, CPP

JavaScript

/*
 * @lc app=leetcode id=124 lang=javascript
 *
 * [124] Binary Tree Maximum Path Sum
 */
/**
 * Definition for a binary tree node.
 * function TreeNode(val) {
 *     this.val = val;
 *     this.left = this.right = null;
 * }
 */
function helper(node, payload) {
  if (node === null) return 0;

  const l = helper(node.left, payload);
  const r = helper(node.right, payload);

  payload.max = Math.max(
    node.val + Math.max(0, l) + Math.max(0, r),
    payload.max
  );

  return node.val + Math.max(l, r, 0);
}
/**
 * @param {TreeNode} root
 * @return {number}
 */
var maxPathSum = function (root) {
  if (root === null) return 0;
  const payload = {
    max: root.val,
  };
  helper(root, payload);
  return payload.max;
};

Java

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
  int ans;
  public int maxPathSum(TreeNode root) {
    ans = Integer.MIN_VALUE;
    helper(root);   // recursion
    return ans;
  }

  public int helper(TreeNode root) {
    if (root == null) return 0;
    int leftMax = Math.max(0, helper(root.left));     // find the max sub-path sum in left sub-tree
    int rightMax = Math.max(0, helper(root.right));   // find the max sub-path sum in right sub-tree
    ans = Math.max(ans, leftMax+rightMax+root.val);   // find the max path sum at current node
    return max(leftMax, rightMax) + root.val;         // according to the definition of path, the return value of current node can only be that the sum of current node value plus either left or right max path sum.
  }
}

Python


class Solution:
    ans = float('-inf')
    def maxPathSum(self, root: TreeNode) -> int:
        def helper(node):
            if not node: return 0
            l = helper(node.left)
            r = helper(node.right)
            self.ans = max(self.ans, max(l,0) + max(r, 0) + node.val)
            return max(l, r, 0) + node.val
        helper(root)
        return self.ans

class Solution {
private:
    int ans = INT_MIN;
    int postOrder(TreeNode *root) {
        if (!root) return INT_MIN;
        int L = max(0, postOrder(root->left)), R = max(0, postOrder(root->right));
        ans = max(ans, L + R + root->val);
        return root->val + max(L, R);
    }
public:
    int maxPathSum(TreeNode* root) {
        postOrder(root);
        return ans;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，其中 n 为节点数。
空间复杂度：$O(h)$，其中 h 为树高。

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