Triple-Inversion
Given a list of integers nums, return the number of pairs i < j such that nums[i] > nums[j] * 3.
Constraints
n ≤ 100,000 where n is the length of nums
Example 1
Input
nums = [7, 1, 2]
Output
2
Explanation
We have the pairs (7, 1) and (7, 2)
- 二分法
暴力的解法可以枚举所有可能的 j，然后往前找 i 使得满足 $nums[i] > nums[j] * 3$，我们要做的就是将满足这种条件的 i 数出来有几个即可。这种算法时间复杂度为 $O(n^2)$。
代码支持：Python3
Python3 Code:
class Solution:
def solve(self, A):
ans = 0
for i in range(len(A)):
for j in range(i+1,len(A)):
if A[i] > A[j] * 3: ans += 1
return ans
复杂度分析
令 n 为数组长度。
- 时间复杂度：$O(n^2)$
- 空间复杂度：$O(1)$
这道题我们也可以反向思考。即思考：对于 nums 中的每一项 num，我们找前面出现过的大于 num * 3 的数。
我们可以自己构造有序序列 d，然后在 d 上做二分。如何构建 d 呢？很简单，就是将 nums 中已经遍历过的数字全部放到 d 中即可。
代码表示就是：
d = []
for a in A:
bisect.insort(d, a)
bisect.insort 指的是使用二分找到插入点，并将数插入到数组中，使得插入后数组仍然有序。虽然使用了二分，使得找到插入点的时间复杂度为 $O(logn)$，但是由于数组的 特性，插入导致的数组项后移的时间复杂度为 $O(n)$，因此总的时间复杂度为 $O(n^2)$。
Python3 Code:
class Solution:
def solve(self, A):
d = []
ans = 0
for a in A:
i = bisect.bisect_right(d, a * 3)
ans += len(d) - i
bisect.insort(d, a)
由于上面的算法瓶颈在于数组的插入后移带来的时间。因此我们可以使用平衡二叉树来减少这部分时间，使用平衡二叉树可以使得插入时间稳定在 $O(logn)$，Python 可使用 SortedList 来实现， Java 可用 TreeMap 代替。
代码支持：Python3
Python3 Code:
from sortedcontainers import SortedList
class Solution:
def solve(self, A):
d = SortedList()
ans = 0
for a in A:
i = d.bisect_right(a * 3)
ans += len(d) - i
d.add(a)
return ans
复杂度分析
令 n 为数组长度。
- 时间复杂度：$O(nlogn)$
- 空间复杂度：$O(n)$
我们接下来介绍更广泛使用的，效率更高的解法
分治。 我们进行一次归并排序，并在归并过程中计算逆序数，换句话说 逆序对是归并排序的副产物。如果不熟悉归并排序，可以先查下相关资料。 如果你直接想看归并排序代码，那么将的代码统计 cnt 部分删除就好 了。
归并排序实际上会把数组分成两个有序部分，我们不妨称其为左和右，归并排序的过程中会将左右两部分合并成一个有序的部分，对于每一个左右部分，我们分别计算其逆序数，然后全部加起来就是我们要求的逆序数。 那么分别如何求解左右部分的逆序数呢？
def mergeTwo(nums1, nums2):
res = []
i = j = 0
while i < len(nums1) and j < len(nums2):
if nums1[i] < nums[j]:
res.append(nums[i])
i += 1
else:
res.append(nums[j])
j += 1
while i < len(nums1) :
res.append(num[i])
i += 1
while j < len(nums1) :
res.append(num[j])
j += 1
return res
而我们要做的就是在上面的合并过程中统计逆序数。
为了方便描述，我将题目中的：i < j such that nums[i] > nums[j] * 3，改成 i < j such that nums[i] > nums[j]。也就是将 3 倍变成一倍。 如果你理解了这个过程，只需要比较的时候乘以 3 就行，其他逻辑不变。
️ 比如对于左：[1，2，3，4]右：[2，5]。由于我的算法是按照 [start, mid], [mid, end] 区间分割的，因此这里的 mid 为 3（具体可参考下方代码区）。 其中
i，j 指针如粗体部分（左数组的 3 和右数组的 2）。 那么 逆序数就是 mid - i + 1 也就是 3 - 2 + 1 = 2 即（3，2)和 (4，2)。 其原因在于如果 3 大于 2，那么 3 后面不用看了，肯定都大于 2。 ️ 之后会变成：[1，2，3，4] 右：[2，5] （左数组的 3 和 右数组的 5），继续按照上面的方法计算直到无法进行即可。class Solution:
def solve(self, nums: List[int]) -> int:
self.cnt = 0
def merge(nums, start, mid, end):
i, j, temp = start, mid + 1, []
while i <= mid and j <= end:
if nums[i] <= nums[j]:
temp.append(nums[i])
i += 1
else:
self.cnt += mid - i + 1
temp.append(nums[j])
j += 1
while i <= mid:
temp.append(nums[i])
i += 1
while j <= end:
temp.append(nums[j])
j += 1
for i in range(len(temp)):
nums[start + i] = temp[i]
def mergeSort(nums, start, end):
if start >= end: return
mid = (start + end) >> 1
mergeSort(nums, start, mid)
mergeSort(nums, mid + 1, end)
merge(nums, start, mid, end)
mergeSort(nums, 0, len(nums) - 1)
return self.cnt
注意上述算法在 mergeSort 中我们每次都开辟一个新的 temp，这样空间复杂度大概相当于 NlogN，实际上我们完全每必要每次 mergeSort 都开辟一个新的，而是大家也都用一个。具体见下方代码区。
代码支持：Python3
Python3 Code:
class Solution:
def solve(self, nums) -> int:
self.cnt = 0
def merge(nums, start, mid, end, temp):
i, j = start, mid + 1
while i <= mid and j <= end:
if nums[i] <= nums[j]:
temp.append(nums[i])
i += 1
else:
temp.append(nums[j])
j += 1
# 防住
# 这里代码开始
ti, tj = start, mid + 1
while ti <= mid and tj <= end:
if nums[ti] <= 3 * nums[tj]:
ti += 1
else:
self.cnt += mid - ti + 1
tj += 1
# 这里代码结束
while i <= mid:
temp.append(nums[i])
i += 1
while j <= end:
temp.append(nums[j])
j += 1
for i in range(len(temp)):
nums[start + i] = temp[i]
temp.clear()
def mergeSort(nums, start, end, temp):
if start >= end: return
mid = (start + end) >> 1
mergeSort(nums, start, mid, temp)
mergeSort(nums, mid + 1, end, temp)
merge(nums, start, mid, end, temp)
mergeSort(nums, 0, len(nums) - 1, [])
return self.cnt
复杂度分析
令 n 为数组长度。
- 时间复杂度：$O(nlogn)$
- 空间复杂度：$O(n)$
以上就是本文的全部内容了。大家对此有何看法，欢迎给我留言，我有时间都会一一查看回答。更多算法套路可以访问我的 LeetCode 题解仓库：https://github.com/azl397985856/leetcode 。 目前已经 40K star 啦。大家也可以关注我的公众号《力扣加加》带你啃下算法这块硬骨头。
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