第五章 - 高频考题(中等)
1906. 查询差绝对值的最小值
0457.457. 环形数组是否存在循环

题目地址(457. 环形数组是否存在循环)

题目描述

存在一个不含 0 的 环形 数组 nums ,每个 nums[i] 都表示位于下标 i 的角色应该向前或向后移动的下标个数:
如果 nums[i] 是正数,向前(下标递增方向)移动 |nums[i]| 步
如果 nums[i] 是负数,向后(下标递减方向)移动 |nums[i]| 步
因为数组是 环形 的,所以可以假设从最后一个元素向前移动一步会到达第一个元素,而第一个元素向后移动一步会到达最后一个元素。
数组中的 循环 由长度为 k 的下标序列 seq 标识:
遵循上述移动规则将导致一组重复下标序列 seq[0] -> seq[1] -> ... -> seq[k - 1] -> seq[0] -> ...
所有 nums[seq[j]] 应当不是 全正 就是 全负
k > 1
如果 nums 中存在循环,返回 true ;否则,返回 false 。
示例 1:
输入:nums = [2,-1,1,2,2]
输出:true
解释:存在循环,按下标 0 -> 2 -> 3 -> 0 。循环长度为 3 。
示例 2:
输入:nums = [-1,2]
输出:false
解释:按下标 1 -> 1 -> 1 ... 的运动无法构成循环,因为循环的长度为 1 。根据定义,循环的长度必须大于 1 。
示例 3:
输入:nums = [-2,1,-1,-2,-2]
输出:false
解释:按下标 1 -> 2 -> 1 -> ... 的运动无法构成循环,因为 nums[1] 是正数,而 nums[2] 是负数。
所有 nums[seq[j]] 应当不是全正就是全负。
提示:
1 <= nums.length <= 5000
-1000 <= nums[i] <= 1000
nums[i] != 0
进阶:你能设计一个时间复杂度为 O(n) 且额外空间复杂度为 O(1) 的算法吗?

前置知识

公司

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解法一 - 暴力解

思路

根据题意,我们可以检查所有情况。即分别检查从索引 0,1,2。。。 n-1 开始的情况, 判断其是否能构成长度至少为 2 的环
不难理出算法框架为:
for i in range(n):
if can(i): return True
return False
can(i) 功能是检查是否从 i 开始可以有一条长度至少为 2 的循环。
那么剩下的问题就是如何实现 can(i)。 检查是否有环明显就是一个标准的图的搜索问题,套用模板即可。
这里有几点需要注意:
  1. 1.
    由于我们必须同正同负,那么我们可以记录一下其实的正负。如果遍历到的值不同为正负则可以提前退出。
  2. 2.
    如果环大小小于 2 则返回 False,这提示我们记录一下环的大小。如下代码 steps 就是环的大小。
  3. 3.
     由于题目是限定了数组是 环形 的,所以可以假设从最后一个元素向前移动一步会到达第一个元素,而第一个元素向后移动一步会到达最后一个元素。 因此我们需要对两种越界分开讨论。不过为了代码一致,我用了统一的写法 (cur + nums[cur]) % n + n ) % n 获取到下一个索引。

代码

  • 语言支持:Python3
Python3 Code:
class Solution:
def circularArrayLoop(self, nums: List[int]) -> bool:
def can(cur, start, steps):
if nums[cur] ^ nums[start] < 0: return False
if cur == start and steps != 0: return steps > 1
if cur in visited: return False
visited.add(cur)
return can(((cur + nums[cur]) % n + n ) % n, start, steps + 1)
n = len(nums)
visited = None
for i in range(n):
visited = set()
if can(i, i, 0): return True
return False
复杂度分析
令 n 为数组长度。
  • 时间复杂度:$O(n^2)$
  • 空间复杂度:$O(n)$

解法二 - 空间优化

思路

和解法一类似。不过由于如果 steps 大于 n 则一定不存在解,可直接返回 False,因此我们可以根据 steps 判断是否无解,而不必使用 visited 数组。这样做可以减少空间,不过时间复杂度上常数项上要比解法一差,因此不推荐,仅作为参考。

代码

  • 语言支持:Python3
Python3 Code:
class Solution:
def circularArrayLoop(self, nums: List[int]) -> bool:
def can(cur, start, steps):
if nums[cur] ^ nums[start] < 0: return False
if cur == start and steps != 0: return steps > 1
if steps > n: return False
return can(((cur + nums[cur]) % n + n ) % n, start, steps + 1)
n = len(nums)
for i in range(n):
if can(i, i, 0): return True
return False
复杂度分析
令 n 为数组长度。
  • 时间复杂度:$O(n^2)$
  • 空间复杂度:$O(1)$

解法三 - 原地标记

思路

我们可以对前面两种解法进行优化。
我们可以使用哈希表 visited 记录访问情况,其中 key 为索引,value 为起始点。如果当前节点在 visited 中,就只有两种情况:
  • visited[cur] == start 为真,也就是说 cur 是在当前轮被标记访问的,直接返回 true
  • 否则不是在当前轮标记的,那么一定是之前标记的,那直接返回 false 就好了。因此之前轮已经检查过了经过 cur 不存在环
我们使用了 visited 后每个点最多被处理一次,因此可以将时间复杂度降低到 $O(n)$。
进一步,我们可以使用原地标记的算法而不开辟 visited ,从而将空间复杂度降低到 $O(1)$。实现也很简单,只需要将数组值映射到题目值域外的数即可。  以这道题来说,加 5000 就可以映射到题目数据范围外。

代码

  • 语言支持:Python3
Python3 Code:
class Solution:
def circularArrayLoop(self, nums: List[int]) -> bool:
def can(cur, start, start_v):
if nums[cur] >= 5000: return nums[cur] - 5000 == start
if nums[cur] ^ start_v < 0: return False
nxt = ((cur + nums[cur]) % n + n ) % n
if nxt == cur: return False
nums[cur] = start + 5000
return can(nxt, start, start_v)
n = len(nums)
for i in range(n):
if can(i, i, nums[i]): return True
return False
复杂度分析
令 n 为数组长度。
  • 时间复杂度:$O(n)$
  • 空间复杂度:不考虑递归产生的调用栈开销的话是 $O(1)$
读者可以轻易地将上面的代码改为迭代,感兴趣的读者不妨试试看。

关键点

  • 使用哈希表 visited 记录访问情况,其中 key 为索引,value 为起始点。这样可以将时间复杂度降低到 $O(n)$
此题解由 力扣刷题插件 自动生成。
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