力扣加加 - 努力做西湖区最好的算法题解
  • introduction
  • 第一章 - 算法专题
    • 数据结构
    • 链表专题
    • 树专题
    • 堆专题(上)
    • 堆专题(下)
    • 二分专题(上)
    • 二分专题(下)
    • 动态规划(重置版)
    • 大话搜索
    • 二叉树的遍历
    • 哈夫曼编码和游程编码
    • 布隆过滤器
    • 前缀树
    • 回溯
    • 滑动窗口(思路 + 模板)
    • 位运算
    • 小岛问题
    • 最大公约数
    • 并查集
    • 平衡二叉树专题
    • 蓄水池抽样
    • 单调栈
  • 第二章 - 91 天学算法
    • 91 天学算法第三期视频会议总结
    • 第一期讲义-二分法
    • 第一期讲义-双指针
    • 第三期正在火热进行中
  • 第三章 - 精选题解
    • 字典序列删除
    • 西法的刷题秘籍】一次搞定前缀和
    • 字节跳动的算法面试题是什么难度?
    • 字节跳动的算法面试题是什么难度?(第二弹)
    • 《我是你的妈妈呀》 * 第一期
    • 一文带你看懂二叉树的序列化
    • 穿上衣服我就不认识你了?来聊聊最长上升子序列
    • 你的衣服我扒了 * 《最长公共子序列》
    • 一文看懂《最大子序列和问题》
  • 第四章 - 高频考题(简单)
    • 面试题 17.12. BiNode
    • 0001. 两数之和
    • 0020. 有效的括号
    • 0021. 合并两个有序链表
    • 0026. 删除排序数组中的重复项
    • 0053. 最大子序和
    • 0160. 相交链表
    • 0066. 加一
    • 0088. 合并两个有序数组
    • 0101. 对称二叉树
    • 0104. 二叉树的最大深度
    • 0108. 将有序数组转换为二叉搜索树
    • 0121. 买卖股票的最佳时机
    • 0122. 买卖股票的最佳时机 II
    • 0125. 验证回文串
    • 0136. 只出现一次的数字
    • 0155. 最小栈
    • 0167. 两数之和 II 输入有序数组
    • 0169. 多数元素
    • 0172. 阶乘后的零
    • 0190. 颠倒二进制位
    • 0191. 位 1 的个数
    • 0198. 打家劫舍
    • 0203. 移除链表元素
    • 0206. 反转链表
    • 0219. 存在重复元素 II
    • 0226. 翻转二叉树
    • 0232. 用栈实现队列
    • 0263. 丑数
    • 0283. 移动零
    • 0342. 4 的幂
    • 0349. 两个数组的交集
    • 0371. 两整数之和
    • 401. 二进制手表
    • 0437. 路径总和 III
    • 0455. 分发饼干
    • 0504. 七进制数
    • 0575. 分糖果
    • 0665. 非递减数列
    • 0661. 图片平滑器
    • 821. 字符的最短距离
    • 0874. 模拟行走机器人
    • 1128. 等价多米诺骨牌对的数量
    • 1260. 二维网格迁移
    • 1332. 删除回文子序列
    • 2591. 将钱分给最多的儿童
  • 第五章 - 高频考题(中等)
    • 面试题 17.09. 第 k 个数
    • 面试题 17.23. 最大黑方阵
    • 面试题 16.16. 部分排序
    • Increasing Digits
    • Longest Contiguously Strictly Increasing Sublist After Deletion
    • Consecutive Wins
    • Number of Substrings with Single Character Difference
    • Bus Fare
    • Minimum Dropping Path Sum
    • Every Sublist Min Sum
    • Maximize the Number of Equivalent Pairs After Swaps
    • 0002. 两数相加
    • 0003. 无重复字符的最长子串
    • 0005. 最长回文子串
    • 0011. 盛最多水的容器
    • 0015. 三数之和
    • 0017. 电话号码的字母组合
    • 0019. 删除链表的倒数第 N 个节点
    • 0022. 括号生成
    • 0024. 两两交换链表中的节点
    • 0029. 两数相除
    • 0031. 下一个排列
    • 0033. 搜索旋转排序数组
    • 0039. 组合总和
    • 0040. 组合总和 II
    • 0046. 全排列
    • 0047. 全排列 II
    • 0048. 旋转图像
    • 0049. 字母异位词分组
    • 0050. Pow(x, n)
    • 0055. 跳跃游戏
    • 0056. 合并区间
    • 0060. 第 k 个排列
    • 0061. 旋转链表
    • 0062. 不同路径
    • 0073. 矩阵置零
    • 0075. 颜色分类
    • 0078. 子集
    • 0079. 单词搜索
    • 0080. 删除排序数组中的重复项 II
    • 0086. 分隔链表
    • 0090. 子集 II
    • 0091. 解码方法
    • 0092. 反转链表 II
    • 0094. 二叉树的中序遍历
    • 0095. 不同的二叉搜索树 II
    • 0096. 不同的二叉搜索树
    • 0098. 验证二叉搜索树
    • 0102. 二叉树的层序遍历
    • 0103. 二叉树的锯齿形层次遍历
    • 0113. 路径总和 II
    • 0129. 求根到叶子节点数字之和
    • 0130. 被围绕的区域
    • 0131. 分割回文串
    • 0139. 单词拆分
    • 0144. 二叉树的前序遍历
    • 0147. 对链表进行插入排序
    • 0150. 逆波兰表达式求值
    • 0152. 乘积最大子数组
    • 0153. 寻找旋转排序数组中的最小值
    • 0199. 二叉树的右视图
    • 0200. 岛屿数量
    • 0201. 数字范围按位与
    • 0208. 实现 Trie (前缀树)
    • 0209. 长度最小的子数组
    • 0211. 添加与搜索单词 - 数据结构设计
    • 0215. 数组中的第 K 个最大元素
    • 0220. 存在重复元素 III
    • 0221. 最大正方形
    • 0227. 基本计算器 II
    • 0229. 求众数 II
    • 0230. 二叉搜索树中第 K 小的元素
    • 0236. 二叉树的最近公共祖先
    • 0238. 除自身以外数组的乘积
    • 0240. 搜索二维矩阵 II
    • 0279. 完全平方数
    • 0309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
    • 0322. 零钱兑换
    • 0324. 摆动排序 II
    • 0328. 奇偶链表
    • 0331. 验证二叉树的前序序列化
    • 0334. 递增的三元子序列
    • 0337. 打家劫舍 III
    • 0343. 整数拆分
    • 0365. 水壶问题
    • 0378. 有序矩阵中第 K 小的元素
    • 0380. 常数时间插入、删除和获取随机元素
    • 0394. 字符串解码
    • 0416. 分割等和子集
    • 0424. 替换后的最长重复字符
    • 0438. 找到字符串中所有字母异位词
    • 0445. 两数相加 II
    • 0454. 四数相加 II
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    • 0457.457. 环形数组是否存在循环
    • 0464. 我能赢么
    • 0470. 用 Rand7() 实现 Rand10
    • 0473. 火柴拼正方形
    • 0494. 目标和
    • 0516. 最长回文子序列
    • 0513. 找树左下角的值
    • 0518. 零钱兑换 II
    • 0525. 连续数组
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    • 0560. 和为 K 的子数组
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    • 0611. 有效三角形的个数
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    • 0686. 重复叠加字符串匹配
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    • 0718. 最长重复子数组
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    • 0785. 判断二分图
    • 0790. 多米诺和托米诺平铺
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    • 0801. 使序列递增的最小交换次数
    • 0816. 模糊坐标
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    • 1906. 查询差绝对值的最小值
    • 1906. 查询差绝对值的最小值
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    • 2101. 引爆最多的炸弹
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    • 2817. 限制条件下元素之间的最小绝对差
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    • 3404. 统计特殊子序列的数目
    • 3428. 至多 K 个子序列的最大和最小和
  • 第六章 - 高频考题(困难)
    • LCP 20. 快速公交
    • LCP 21. 追逐游戏
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    • Triple-Inversion
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    • 0212. 单词搜索 II
    • 0239. 滑动窗口最大值
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    • 1872. 石子游戏 VIII
    • 1883. 准时抵达会议现场的最小跳过休息次数
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  • 后序
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  • 题目地址(1494. 并行课程 II)
  • 题目描述
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  • 思路
  • 关键点
  • 代码

这有帮助吗?

  1. 第六章 - 高频考题(困难)

1494. 并行课程 II

题目地址(1494. 并行课程 II)

https://leetcode-cn.com/problems/parallel-courses-ii/

题目描述

给你一个整数 n 表示某所大学里课程的数目,编号为 1 到 n ,数组 dependencies 中, dependencies[i] = [xi, yi]  表示一个先修课的关系,也就是课程 xi 必须在课程 yi 之前上。同时你还有一个整数 k 。

在一个学期中,你 最多 可以同时上 k 门课,前提是这些课的先修课在之前的学期里已经上过了。

请你返回上完所有课最少需要多少个学期。题目保证一定存在一种上完所有课的方式。

 

示例 1:

输入:n = 4, dependencies = [[2,1],[3,1],[1,4]], k = 2
输出:3
解释:上图展示了题目输入的图。在第一个学期中,我们可以上课程 2 和课程 3 。然后第二个学期上课程 1 ,第三个学期上课程 4 。


示例 2:

输入:n = 5, dependencies = [[2,1],[3,1],[4,1],[1,5]], k = 2
输出:4
解释:上图展示了题目输入的图。一个最优方案是:第一学期上课程 2 和 3,第二学期上课程 4 ,第三学期上课程 1 ,第四学期上课程 5 。


示例 3:

输入:n = 11, dependencies = [], k = 2
输出:6


 

提示:

1 <= n <= 15
1 <= k <= n
0 <= dependencies.length <= n * (n-1) / 2
dependencies[i].length == 2
1 <= xi, yi <= n
xi != yi
所有先修关系都是不同的,也就是说 dependencies[i] != dependencies[j] 。
题目输入的图是个有向无环图。

前置知识

  • 拓扑排序

  • 位运算

  • 动态规划

公司

  • 暂无

思路

看了下 n 的取值范围是 [1, 15],基本可以锁定为回溯或者状压 DP。

首先,我们需要用一个数据结构来存储课程之间的依赖关系。不妨使用 hashmap,这样可以在 $O(1)$ 的时间获取到一个课程的所有前置课程。

接下来,我们使用一个数组 studied 来表示已经学习的课程,其中 studied[i] 是一个布尔值,表示第 i 个课程是否已经学习。

假设我们的 studied 已经确认了,那么下一步我们可以继续学习哪些课程呢?这就需要用到前面的 hashmap 啦,不妨称其为 neighbors,neighbors 的 key 是课程 id,值是 studied 数组,含义是想学习课程 i 必须先把 studied 数组中为 true 的全部学了。那么如果 neighbors[j] 是当前已经学习的课程数组的子集,那么说明当前已经达到了学习课程 j 的条件。

我们可以不断枚举当前已经学习的课程数组 的值,并由此确定接下来可以学习的课程集合 sub。得到 sub 之后要做的就是枚举 sub 的子集啦。

如何枚举子集呢?

比如需要枚举一个集合 S 的所有子集,你会如何做?

  1. 状态。我们可以用一个和 S 相同大小的数组 picked 记录每个数被选取的信息, 用 0 表示没有选取,用 1 表示选取。

比如 S 大小为 3, picked 数组 [1,1,0],表示 S 中的第一项和第二项被选择(索引从 1 开始)。如果 S 的大小为 n,就需要用一个长度为 n 的数组来存储,那么就有 $2^n$ 种状态。

由于数组的值不是 0 就是 1,满足二值性,因此更多时候我们会使用一个数字 y 来表示状态,而不是上面的 picked 数组。其中 y 的二进制位对应上面提到的 picked 数组中的一项。

  1. 不重不漏。

实际上,我们也可用另外一个数 x 来模拟集合 S。这样问题就转化为两个数(x 和 y)的位运算。

由于我们使用 1 表示被选取, 0 表示选取。因此 如果 x 对应位为 0,其实 y 也只能是 0,而如果 x 对应位是 1,y 却可能是 0 或者 1。也就是说 y 一定小于等于 x, 因此可以枚举所有小于等于 x 的数的二进制,并逐个判断其是否真的是 x 的子集。

令 n 为 x 的二进制位数,我们可以写出如下代码。

// 外层枚举所有小于等于 x 的数
ans = [];
for (i = 1; i < 1 << n; i++) {
  if ((x | i) === x) ans.push(i);
}
// ans 就是所有非空子集

这种算法的复杂度大约是 $O(4^n)$,也就是说和 x 成正比。这种算法 n 最多取到 12 左右。

这样做不重不漏么?答案是可以的。因为 (x | i) === x 就是 i 是 x 的子集的充要条件,当然你也可用 & ,即 (x | i) & i == i 来表示 i 是 x 的子集。

如果二进制你不好理解,其实你可以转化为十进制理解。比如我给你一个数 132,让你找 132 的子集,这里的子集我简单定义为当前位的数字是否小于等于原数字当前位的数字。这样我们就可以先从 1 枚举到 132,因为这些数潜在都可能是 132 的子集。如果我枚举了一个数字 030,由于 0 小于等于 1,3 小于等于 3,0 小于等于 2,因此 030 是 132 的子集。而如果我枚举了一个数字 040,由于 4 大于 3,因此 040 不是 132 的子集。

  1. 效率。

上面的枚举方法虽然也可保证不重不漏,但是却不是最优的,这里介绍一种更好的枚举方法。

具体做法就是$x_i$和 x 进行&(与)运算。与运算可以快速跳到下一个子集。

ans = [];
// 外层枚举所有小于等于 x 的数
for (i = x; i != 0; i = (i - 1) & x) {
  ans.push(i);
}
// ans 就是所有非空子集

这样做不重不漏么?算法的关键在于 i = (i - 1) & x。这个操作首先将 i - 1,从而把 i 最右边的 1 变成了 0,然后把这位之后的所有 0 变成了 1。经过这样的处理再与 x 求与,就保证了得到的结果是 x 的子集,并且一定是所有子集中小于 i 的最大的一个。直观来看就是倒序枚举除了所有非空子集。

对于有 n 个 1 的二进制数字,需要 $2^n$ 的时间复杂度。而有 n 个 1 的二进制数字有 $C(n,i)$ 个,所以这段代码的时间复杂度为 $\sum_{i=0}^{n} C(n,i)\times2^i$,大约是 $O(3^n)$。和上面一样,这种算法的时间复杂度也和 x 成正比。但是这种算法 n 最多取到 15 左右。

这种方法对题目有一定要求, 即:

  1. 数据范围要合适,否则数字无法表示了。

  2. 只能有两种状态,这样才可以用二进制位 0 和 1 进行模拟。

其实状态压缩没有什么神秘,只是 API 不一样罢了。

有了上面的铺垫就简单了。我们只需要枚举所有子集,对于每一个子集,我们考虑使用动态规划来转移状态。

定义 dp[studied] 为学习情况为 studied 的最少需要学期数。

那么转移方程为:

# 含义为我们可以选择在这一学期学习 sub,或者选择在下一学期学习 sub
# dp[studied | sub] 就是两种选择的较小值
dp[studied | sub] = min(dp[studied | sub], dp[studied] + 1)

其中 studied 为当前的学习的课程,sub 为当前可以学习的课程的子集。其中 studied 和 sub 都是一个数字,每一位的 bit 为 0 表示无该课程,为 1 表示有该课程。

关键点

  • 枚举

  • 位运算的枚举子集优化

代码

  • 语言支持:Python3

Python3 Code:


class Solution:
    def minNumberOfSemesters(self, n: int, dependencies: List[List[int]], k: int) -> int:
        neighbors = collections.defaultdict(int)
        dp = [n] * (1 << n)

        for fr, to in dependencies:
            neighbors[to - 1] |= 1 << (fr - 1)
        dp[0] = 0  # 表示什么都不学的情况需要 0 学期
        for i in range(1 << n):
            can = 0
            for j in range(n):
                if (i & neighbors[j]) == neighbors[j]:
                    can |= 1 << j
            # 已经学过的不能学
            can &= ~i
            sub = can
            while sub:
                # 可以学习 sub
                if bin(sub).count("1") <= k:
                    dp[i | sub] = min(dp[i | sub], dp[i] + 1)
                sub = (sub - 1) & can # 快速跳到下一个子集(枚举子集优化)
        return dp[(1 << n) - 1]

复杂度分析

令 n 为数组长度。

  • 时间复杂度:$O(2^n)$

  • 空间复杂度:$O(2^n)$

以上就是本文的全部内容了。大家对此有何看法,欢迎给我留言,我有时间都会一一查看回答。更多算法套路可以访问我的 LeetCode 题解仓库:https://github.com/azl397985856/leetcode 。 目前已经 40K star 啦。大家也可以关注我的公众号《力扣加加》带你啃下算法这块硬骨头。

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最后更新于2年前

这有帮助吗?

一般 20 以内都可以,具体的时间复杂度和数据规模的关系可从中的复杂度速查表中查看。

再比如 看下数据范围就大概知道很可能就是回溯或者状压 DP。

这道题是状压 DP,如果你对其不了解,可以看下我之前写的 ,这里一些细节不再赘述。

此题解由 自动生成。

力扣的小伙伴可以,这样就会第一时间收到我的动态啦~

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