2141. 同时运行 N 台电脑的最长时间

题目地址(2141. 同时运行 N 台电脑的最长时间 - 力扣（LeetCode）)

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题目描述

你有 n 台电脑。给你整数 n 和一个下标从 0 开始的整数数组 batteries ，其中第 i 个电池可以让一台电脑 运行 batteries[i] 分钟。你想使用这些电池让 全部 n 台电脑 同时 运行。

一开始，你可以给每台电脑连接 至多一个电池 。然后在任意整数时刻，你都可以将一台电脑与它的电池断开连接，并连接另一个电池，你可以进行这个操作 任意次 。新连接的电池可以是一个全新的电池，也可以是别的电脑用过的电池。断开连接和连接新的电池不会花费任何时间。

注意，你不能给电池充电。

请你返回你可以让 n 台电脑同时运行的 最长 分钟数。

示例 1：

输入：n = 2, batteries = [3,3,3]
输出：4
解释：
一开始，将第一台电脑与电池 0 连接，第二台电脑与电池 1 连接。
2 分钟后，将第二台电脑与电池 1 断开连接，并连接电池 2 。注意，电池 0 还可以供电 1 分钟。
在第 3 分钟结尾，你需要将第一台电脑与电池 0 断开连接，然后连接电池 1 。
在第 4 分钟结尾，电池 1 也被耗尽，第一台电脑无法继续运行。
我们最多能同时让两台电脑同时运行 4 分钟，所以我们返回 4 。

示例 2：

输入：n = 2, batteries = [1,1,1,1]
输出：2
解释：
一开始，将第一台电脑与电池 0 连接，第二台电脑与电池 2 连接。
一分钟后，电池 0 和电池 2 同时耗尽，所以你需要将它们断开连接，并将电池 1 和第一台电脑连接，电池 3 和第二台电脑连接。
1 分钟后，电池 1 和电池 3 也耗尽了，所以两台电脑都无法继续运行。
我们最多能让两台电脑同时运行 2 分钟，所以我们返回 2 。

提示：

• 1 <= n <= batteries.length <= 105

• 1 <= batteries[i] <= 109

前置知识

• 二分

公司

• 暂无

思路

我们可以将时间作为横坐标，电脑作为纵坐标，直观地用图来描述电池的分配情况。这位博主画了一个图，很直观，我直接借用了

题目给的例子 n = 2, batteries = [3,3,3] 很有启发。如果先将电池 0 和 电池 1 给两个电脑，然后剩下一个电池不能同时给两个电脑分配，因此这种分配不行。

那么具体如何分配呢？ 我们其实不用关心，因为题目不需要给出具体的分配方案。而是给出具体的使用时间即可。

需要注意的是，只要电量够，那么一定可以找到一种分配方法。

电量够指的是：

• 对于一个电池，如果其电量大于 t，那么只能用 t。因为一个电池同时只能给一个电脑供电。

• 对于一个电池，如果其电量小于等于 t，那么我们可以全部用掉。

合起来就是：sum([min(t, battery) for battery in batteries])

如果合起来大于等于需要的电量（这里是 n * t），那么就一定可以有一种分配方案，使得能够运行 t 分钟。

如何证明一定可以找到这种办法呢？

对于 [3, 3, 3] n = 2 这个例子，我们可以调整最后 1 分钟的电池分配情况使得不重叠（不重叠指的是不存在一个电池需要同时给两个电脑供电的情况）。

那么如何调整？实际上只要任意和前面电池的 1 分钟进行交换，两个不重叠就好。

可以证明如果电池电量小于总运行时间 t，我们一定可以进行交换使得不重叠。如果大于 t，由于我们最多只能用到 t，因此 t 的部分能够交换不重叠， 而超过 t 的部分根本用不到，不用考虑。

大家也可以反着想。 如果不存在一种交换方式使得不重叠。那么说明至少有一个电池的运行时间大于 t，这与题目矛盾。（因为运行 t 时间， 电池不同给多个电脑供电，也就是说电池最多消耗 t 的电量）大家可以结合前面的图来进行理解。

关键点

• 证明总的可用电池大于等于总的分钟数是充要条件

代码

• 语言支持：Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def maxRunTime(self, n: int, batteries: List[int]) -> int:
        def can(k):
            return sum([min(k, battery) for battery in batteries]) >= n * k
        l, r = 0, sum(batteries)
        while l <= r:
            mid = (l + r) // 2
            if can(mid):
                l = mid + 1
            else:
                r = mid - 1
        return r

复杂度分析

令 n 为数组长度，C 为 batteries 数组的 n 项和。

• 时间复杂度：$O(nlogC)$

• 空间复杂度：$O(1)$

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