第六章 - 高频考题(困难)
2281.sum-of-total-strength-of-wizards

题目地址(2281. 巫师的总力量和)

https://leetcode.cn/problems/sum-of-total-strength-of-wizards/

题目描述

作为国王的统治者,你有一支巫师军队听你指挥。
给你一个下标从 0 开始的整数数组 strength ,其中 strength[i] 表示第 i 位巫师的力量值。对于连续的一组巫师(也就是这些巫师的力量值是 strength 的 子数组),总力量 定义为以下两个值的 乘积 :
巫师中 最弱 的能力值。
组中所有巫师的个人力量值 之和 。
请你返回 所有 巫师组的 总 力量之和。由于答案可能很大,请将答案对 109 + 7 取余 后返回。
子数组 是一个数组里 非空 连续子序列。
示例 1:
输入:strength = [1,3,1,2]
输出:44
解释:以下是所有连续巫师组:
- [1,3,1,2] 中 [1] ,总力量值为 min([1]) * sum([1]) = 1 * 1 = 1
- [1,3,1,2] 中 [3] ,总力量值为 min([3]) * sum([3]) = 3 * 3 = 9
- [1,3,1,2] 中 [1] ,总力量值为 min([1]) * sum([1]) = 1 * 1 = 1
- [1,3,1,2] 中 [2] ,总力量值为 min([2]) * sum([2]) = 2 * 2 = 4
- [1,3,1,2] 中 [1,3] ,总力量值为 min([1,3]) * sum([1,3]) = 1 * 4 = 4
- [1,3,1,2] 中 [3,1] ,总力量值为 min([3,1]) * sum([3,1]) = 1 * 4 = 4
- [1,3,1,2] 中 [1,2] ,总力量值为 min([1,2]) * sum([1,2]) = 1 * 3 = 3
- [1,3,1,2] 中 [1,3,1] ,总力量值为 min([1,3,1]) * sum([1,3,1]) = 1 * 5 = 5
- [1,3,1,2] 中 [3,1,2] ,总力量值为 min([3,1,2]) * sum([3,1,2]) = 1 * 6 = 6
- [1,3,1,2] 中 [1,3,1,2] ,总力量值为 min([1,3,1,2]) * sum([1,3,1,2]) = 1 * 7 = 7
所有力量值之和为 1 + 9 + 1 + 4 + 4 + 4 + 3 + 5 + 6 + 7 = 44 。
示例 2:
输入:strength = [5,4,6]
输出:213
解释:以下是所有连续巫师组:
- [5,4,6] 中 [5] ,总力量值为 min([5]) * sum([5]) = 5 * 5 = 25
- [5,4,6] 中 [4] ,总力量值为 min([4]) * sum([4]) = 4 * 4 = 16
- [5,4,6] 中 [6] ,总力量值为 min([6]) * sum([6]) = 6 * 6 = 36
- [5,4,6] 中 [5,4] ,总力量值为 min([5,4]) * sum([5,4]) = 4 * 9 = 36
- [5,4,6] 中 [4,6] ,总力量值为 min([4,6]) * sum([4,6]) = 4 * 10 = 40
- [5,4,6] 中 [5,4,6] ,总力量值为 min([5,4,6]) * sum([5,4,6]) = 4 * 15 = 60
所有力量值之和为 25 + 16 + 36 + 36 + 40 + 60 = 213 。
提示:
1 <= strength.length <= 105
1 <= strength[i] <= 109

前置知识

公司

  • 暂无

思路

如果想做出来这道题,建议先做一下简化版的这道题:907. 子数组的最小值之和
简单说一下上面那个简化版的题目。
一种思考方式是计算每一个数组项 nums[i] 对结果的贡献 c[i],那么答案就是对 c[i] 求和。
nums[i] 对结果的贡献是包含 nums[i] 的子数组,且该子数组的最小值是 nums[i]。于是,我们可以分别找到 nums[i] 左侧和右侧第一个比 nums[i] 小的值 l 和 r,那么子数组 [L,R] 就是一个符合要求的子数组。其中 L 范围是 [l+1,i] R 范围是 [i,r-1]。
根据笛卡尔积可知,每一项 a 对结果的贡献就是 a * (i - l) * (r - i)
而找到左侧(或者右侧)第一个比其大(或者小)的元素考虑使用单调栈。
参考代码:
class Solution:
def sumSubarrayMins(self, A: List[int]) -> int:
n = len(A)
st = []
left = [-1] * n
right = [n] * n
res = 0
for i, a in enumerate(A):
while st and a <= A[st[-1]]:
right[st.pop()] = i
if st:
left[i] = st[-1]
st.append(i)
for i, a in enumerate(A):
res += a * (i - left[i]) * (right[i] - i)
return res % 1000000007
对这道题来说,我们也需要知道左侧和右侧第一个比其小的,因此使用单调栈也可以解决。不同的是,我们需要求所有子数组和的和。
和前面一样子数组 [L,R] 就是一个符合要求的子数组。其中 L 范围是 [l+1,i] R 范围是 [i,r-1]。
关键是每一项 a 对结果的贡献是多少呢?我们知道子数组和可以用前缀和来计算,只要知道左右端点即可求出。而这里有两个变量,一个是左边界,一个是右边界。
假设我们符合要求的子数组是 l1,l2,l3,a,r1,r2,r3不妨固定其中一个,以固定左边界为例。我们先固定 l1, 那么右边界就可以是 r1,r2,r3。此时的贡献是 s[r3] - s[l1](即子 l1 到 r3 这一段的贡献)+ s[r2] - s[l1](即子 l1 到 r2 这一段的贡献)+ s[r1] - s[l1](即子 l1 到 r1 这一段的贡献)。类似的,我们需要固定 l2 和 l3 。 因此一共有 3 个 s[l1],3 就是 a 右侧元素个数 rn。
因此每一项 a 对结果的贡献就是 a * (racc * ln - lacc * rn) % mod

关键点

  • 计算每一项对结果的贡献
  • 固定一个变量

代码

  • 语言支持:Python3
Python3 Code:
class Solution:
def totalStrength(self, A):
mod = 10 ** 9 + 7
n = len(A)
right = [n] * n
left = [-1] * n
st = []
for i in range(n):
while st and A[st[-1]] >= A[i]:
right[st.pop()] = i
if st:
left[i] = st[-1]
st.append(i)
res = 0
acc = list(accumulate(accumulate(A), initial = 0))
for i in range(n):
l, r = left[i], right[i]
lacc = acc[i] - acc[max(l, 0)]
racc = acc[r] - acc[i]
ln, rn = i - l, r - i
res += A[i] * (racc * ln - lacc * rn) % mod
return res % mod
复杂度分析
令 n 为数组长度。
  • 时间复杂度:$O(n)$
  • 空间复杂度:$O(n)$

参考

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