第五章 - 高频考题(中等)
1906. 查询差绝对值的最小值
0062. 不同路径

题目地址(62. 不同路径)

题目描述

1
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )。
2
3
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。
4
5
问总共有多少条不同的路径?
Copied!
1
例如,上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径?
2
3
4
5
示例 1:
6
7
输入: m = 3, n = 2
8
输出: 3
9
解释:
10
从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。
11
1. 向右 -> 向右 -> 向下
12
2. 向右 -> 向下 -> 向右
13
3. 向下 -> 向右 -> 向右
14
示例 2:
15
16
输入: m = 7, n = 3
17
输出: 28
18
19
20
提示:
21
22
1 <= m, n <= 100
23
题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9
Copied!

前置知识

公司

  • 阿里
  • 腾讯
  • 百度
  • 字节

思路

首先这道题可以用排列组合的解法来解,需要一点高中的知识。
而这道题我们也可以用动态规划来解。其实这是一道典型的适合使用动态规划解决的题目,它和爬楼梯等都属于动态规划中最简单的题目,因此也经常会被用于面试之中。
读完题目你就能想到动态规划的话,建立模型并解决恐怕不是难事。其实我们很容易看出,由于机器人只能右移动和下移动, 因此第[i, j]个格子的总数应该等于[i - 1, j] + [i, j -1], 因为第[i,j]个格子一定是从左边或者上面移动过来的。
这不就是二维平面的爬楼梯么?和爬楼梯又有什么不同呢?
代码大概是:
Python Code:
1
class Solution:
2
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
3
d = [[1] * n for _ in range(m)]
4
5
for col in range(1, m):
6
for row in range(1, n):
7
d[col][row] = d[col - 1][row] + d[col][row - 1]
8
9
return d[m - 1][n - 1]
Copied!
复杂度分析
  • 时间复杂度:$O(M * N)$
  • 空间复杂度:$O(M * N)$
由于 dp[i][j] 只依赖于左边的元素和上面的元素,因此空间复杂度可以进一步优化, 优化到 O(n).
具体代码请查看代码区。
当然你也可以使用记忆化递归的方式来进行,由于递归深度的原因,性能比上面的方法差不少:
直接暴力递归的话可能会超时。
Python3 Code:
1
class Solution:
2
3
@lru_cache
4
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
5
if m == 1 or n == 1:
6
return 1
7
return self.uniquePaths(m - 1, n) + self.uniquePaths(m, n - 1)
Copied!

关键点

  • 排列组合原理
  • 记忆化递归
  • 基本动态规划问题
  • 空间复杂度可以进一步优化到 O(n), 这会是一个考点

代码

代码支持 JavaScript,Python3, CPP
JavaScript Code:
1
/*
2
* @lc app=leetcode id=62 lang=javascript
3
*
4
* [62] Unique Paths
5
*
6
* https://leetcode.com/problems/unique-paths/description/
7
*/
8
/**
9
* @param {number} m
10
* @param {number} n
11
* @return {number}
12
*/
13
var uniquePaths = function (m, n) {
14
const dp = Array(n).fill(1);
15
16
for (let i = 1; i < m; i++) {
17
for (let j = 1; j < n; j++) {
18
dp[j] = dp[j] + dp[j - 1];
19
}
20
}
21
22
return dp[n - 1];
23
};
Copied!
Python3 Code:
1
class Solution:
2
3
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
4
dp = [1] * n
5
for _ in range(1, m):
6
for j in range(1, n):
7
dp[j] += dp[j - 1]
8
return dp[n - 1]
Copied!
CPP Code:
1
class Solution {
2
public:
3
int uniquePaths(int m, int n) {
4
vector<int> dp(n + 1, 0);
5
dp[n - 1] = 1;
6
for (int i = m - 1; i >= 0; --i) {
7
for (int j = n - 1; j >= 0; --j) dp[j] += dp[j + 1];
8
}
9
return dp[0];
10
}
11
};
Copied!
复杂度分析
  • 时间复杂度:$O(M * N)$
  • 空间复杂度:$O(N)$

扩展

你可以做到比$O(M * N)$更快,比$O(N)$更省内存的算法么?这里有一份资料可供参考。
提示: 考虑数学

相关题目