题目地址(62. 不同路径)
https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/
题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？
例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？
示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9
前置知识
公司
思路
首先这道题可以用排列组合的解法来解，需要一点高中的知识。
而这道题我们也可以用动态规划来解。其实这是一道典型的适合使用动态规划解决的题目，它和爬楼梯等都属于动态规划中最简单的题目，因此也经常会被用于面试之中。
读完题目你就能想到动态规划的话，建立模型并解决恐怕不是难事。其实我们很容易看出，由于机器人只能右移动和下移动， 因此第[i, j]个格子的总数应该等于[i - 1, j] + [i, j -1]， 因为第[i,j]个格子一定是从左边或者上面移动过来的。
这不就是二维平面的爬楼梯么？和爬楼梯又有什么不同呢？
代码大概是：
Python Code:
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
d = [[1] * n for _ in range(m)]
for col in range(1, m):
for row in range(1, n):
d[col][row] = d[col - 1][row] + d[col][row - 1]
return d[m - 1][n - 1]
复杂度分析
由于 dp[i][j] 只依赖于左边的元素和上面的元素，因此空间复杂度可以进一步优化， 优化到 O(n).
具体代码请查看代码区。
当然你也可以使用记忆化递归的方式来进行，由于递归深度的原因，性能比上面的方法差不少：
直接暴力递归的话可能会超时。
Python3 Code:
class Solution:
@lru_cache
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
if m == 1 or n == 1:
return 1
return self.uniquePaths(m - 1, n) + self.uniquePaths(m, n - 1)
关键点
空间复杂度可以进一步优化到 O(n), 这会是一个考点
代码
代码支持 JavaScript，Python3, CPP
JavaScript Code:
/*
* @lc app=leetcode id=62 lang=javascript
*
* [62] Unique Paths
*
* https://leetcode.com/problems/unique-paths/description/
*/
/**
* @param {number} m
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var uniquePaths = function (m, n) {
const dp = Array(n).fill(1);
for (let i = 1; i < m; i++) {
for (let j = 1; j < n; j++) {
dp[j] = dp[j] + dp[j - 1];
}
}
return dp[n - 1];
};
Python3 Code:
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
dp = [1] * n
for _ in range(1, m):
for j in range(1, n):
dp[j] += dp[j - 1]
return dp[n - 1]
CPP Code:
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[n - 1] = 1;
for (int i = m - 1; i >= 0; --i) {
for (int j = n - 1; j >= 0; --j) dp[j] += dp[j + 1];
}
return dp[0];
}
};
复杂度分析
扩展
你可以做到比$O(M * N)$更快，比$O(N)$更省内存的算法么？这里有一份资料可供参考。
提示： 考虑数学
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