1043. 分隔数组以得到最大和

题目地址(1043. 分隔数组以得到最大和)

https://leetcode-cn.com/problems/partition-array-for-maximum-sum/

题目描述

给你一个整数数组 arr，请你将该数组分隔为长度最多为 k 的一些（连续）子数组。分隔完成后，每个子数组的中的所有值都会变为该子数组中的最大值。

返回将数组分隔变换后能够得到的元素最大和。

 

注意，原数组和分隔后的数组对应顺序应当一致，也就是说，你只能选择分隔数组的位置而不能调整数组中的顺序。

 

示例 1：

输入：arr = [1,15,7,9,2,5,10], k = 3
输出：84
解释：
因为 k=3 可以分隔成 [1,15,7] [9] [2,5,10]，结果为 [15,15,15,9,10,10,10]，和为 84，是该数组所有分隔变换后元素总和最大的。
若是分隔成 [1] [15,7,9] [2,5,10]，结果就是 [1, 15, 15, 15, 10, 10, 10] 但这种分隔方式的元素总和（76）小于上一种。

示例 2：

输入：arr = [1,4,1,5,7,3,6,1,9,9,3], k = 4
输出：83


示例 3：

输入：arr = [1], k = 1
输出：1


 

提示：

1 <= arr.length <= 500
0 <= arr[i] <= 109
1 <= k <= arr.length

前置知识

• 动态规划

• 记忆化递归

公司

• 暂无

记忆化递归

思路

对于 对于题目给的例子 [1,15,7,9,2,5,10],k=3 第一次我们可以选择 [1] 或者 [1,15] 或者[1,15,7]。根据题意，将子数组内的元素变成子数组的最大值。也就是变为 [1] 或者 [15, 15] 或者 [15,15,15]。

去掉这段子数组，例如去掉 [1,15,7]，剩余的要解决的问题是 [9,2,5,10]。这是一个和原问题完全一样但是规模更小的子问题，所以可以用递归解决。

具体来说：

• 我们可以枚举所有的 i，然后计算区间 [i:j] 的区间和，其中 j 的取值范围是 [i:i+k]。

当我们求出来的时候， 就继续使用同样的方法计算剩下子数组的区间和，并将其加起来就是答案。也就是说我们将问题规模缩小了，继续使用同样的方法直到问题缩小到寻常即可。使用递归可以轻松达到这一点。

• 如何对区间求和呢？ 其实也容易，只需要用一个变量 max_ele 记录区间最大值（这在遍历的时候可以同时取得），然后当前区间对答案的贡献就是 max_ele * (j-i+1) ，其中 j - i + 1 为区间的长度。

• 这样我们就算出了区间 [i:j] 的区间和。 这 k 种分割区间的方式([i:i+1], [i:i+2]...[i:i+k])的最大值就是我们想要找的子问题答案。

代码

• 语言支持：Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def maxSumAfterPartitioning(self, arr: List[int], k: int) -> int:
        @lru_cache(None)
        def dp(i):
            if i >= len(arr): return 0
            ans = 0
            max_value = -1
            for steps in range(1, k + 1):
                if i + steps - 1 < len(arr): max_value = max(max_value, arr[i + steps - 1])
                else: break
                ans = max(ans, max_value * steps +  dp(i + steps))
            return ans
        return dp(0)

复杂度分析

令 n 为数组长度。

• 时间复杂度：$O(n * k)$

• 空间复杂度：$O(n)$

动态规划

思路

同上。我们可以将上面的代码改成普通 dp 形式。

只要：

• 将递归的代码改成 for 循环

• 记忆化的地方用 dp 数组代替

即可轻松实现。

代码

• 语言支持：Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def maxSumAfterPartitioning(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        dp = [0] * (n+1)

        for i in range(1, n+1):
            max_ele = 0
            for j in range(i, min(n+1, i+k)):
                max_ele = max(max_ele, nums[j-1])
                # range: [i,j]
                dp[j] = max(dp[j], (j-i+1) * max_ele + dp[i-1])
        return max(dp)

复杂度分析

令 n 为数组长度。

• 时间复杂度：$O(n * k)$

• 空间复杂度：$O(n)$

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