# 1043. 分隔数组以得到最大和
### 题目地址(1043. 分隔数组以得到最大和)
### 题目描述
```
给你一个整数数组 arr，请你将该数组分隔为长度最多为 k 的一些（连续）子数组。分隔完成后，每个子数组的中的所有值都会变为该子数组中的最大值。
返回将数组分隔变换后能够得到的元素最大和。
注意，原数组和分隔后的数组对应顺序应当一致，也就是说，你只能选择分隔数组的位置而不能调整数组中的顺序。
示例 1：
输入：arr = [1,15,7,9,2,5,10], k = 3
输出：84
解释：
因为 k=3 可以分隔成 [1,15,7] [9] [2,5,10]，结果为 [15,15,15,9,10,10,10]，和为 84，是该数组所有分隔变换后元素总和最大的。
若是分隔成 [1] [15,7,9] [2,5,10]，结果就是 [1, 15, 15, 15, 10, 10, 10] 但这种分隔方式的元素总和（76）小于上一种。
示例 2：
输入：arr = [1,4,1,5,7,3,6,1,9,9,3], k = 4
输出：83
示例 3：
输入：arr = [1], k = 1
输出：1
提示：
1 <= arr.length <= 500
0 <= arr[i] <= 109
1 <= k <= arr.length
```
### 前置知识
* 动态规划
* 记忆化递归
### 公司
* 暂无
### 记忆化递归
#### 思路
对于 对于题目给的例子 \[1,15,7,9,2,5,10],k=3 第一次我们可以选择 \[1] 或者 \[1,15] 或者\[1,15,7]。根据题意，将子数组内的元素变成子数组的最大值。也就是变为 \[1] 或者 \[15, 15] 或者 \[15,15,15]。
去掉这段子数组，例如去掉 \[1,15,7]，剩余的要解决的问题是 \[9,2,5,10]。这是一个和原问题完全一样但是规模更小的子问题，所以可以用递归解决。
具体来说：
* 我们可以枚举所有的 i，然后计算区间 \[i:j] 的区间和，其中 j 的取值范围是 \[i:i+k]。
> 当我们求出来的时候， 就继续使用同样的方法计算剩下子数组的区间和，并将其加起来就是答案。也就是说我们将问题规模缩小了，继续使用同样的方法直到问题缩小到寻常即可。使用递归可以轻松达到这一点。
* 如何对区间求和呢？ 其实也容易，只需要用一个变量 max\_ele 记录区间最大值（这在遍历的时候可以同时取得），然后当前区间对答案的贡献就是 max\_ele \* (j-i+1) ，其中 j - i + 1 为区间的长度。
* 这样我们就算出了区间 \[i:j] 的区间和。 这 k 种分割区间的方式(\[i:i+1], \[i:i+2]...\[i:i+k])的最大值就是我们想要找的子问题答案。
#### 代码
* 语言支持：Python3
Python3 Code:
```python
class Solution:
def maxSumAfterPartitioning(self, arr: List[int], k: int) -> int:
@lru_cache(None)
def dp(i):
if i >= len(arr): return 0
ans = 0
max_value = -1
for steps in range(1, k + 1):
if i + steps - 1 < len(arr): max_value = max(max_value, arr[i + steps - 1])
else: break
ans = max(ans, max_value * steps + dp(i + steps))
return ans
return dp(0)
```
**复杂度分析**
令 n 为数组长度。
* 时间复杂度：$O(n \* k)$
* 空间复杂度：$O(n)$
### 动态规划
#### 思路
同上。我们可以将上面的代码改成普通 dp 形式。
只要：
* 将递归的代码改成 for 循环
* 记忆化的地方用 dp 数组代替
即可轻松实现。
#### 代码
* 语言支持：Python3
Python3 Code:
```python
class Solution:
def maxSumAfterPartitioning(self, nums: List[int], k: int) -> int:
n = len(nums)
dp = [0] * (n+1)
for i in range(1, n+1):
max_ele = 0
for j in range(i, min(n+1, i+k)):
max_ele = max(max_ele, nums[j-1])
# range: [i,j]
dp[j] = max(dp[j], (j-i+1) * max_ele + dp[i-1])
return max(dp)
```
**复杂度分析**
令 n 为数组长度。
* 时间复杂度：$O(n \* k)$
* 空间复杂度：$O(n)$
> 此题解由 [力扣刷题插件](https://leetcode-pp.github.io/leetcode-cheat/?tab=solution-template) 自动生成。
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