力扣加加 - 努力做西湖区最好的算法题解
  • introduction
  • 第一章 - 算法专题
    • 数据结构
    • 链表专题
    • 树专题
    • 堆专题(上)
    • 堆专题(下)
    • 二分专题(上)
    • 二分专题(下)
    • 动态规划(重置版)
    • 大话搜索
    • 二叉树的遍历
    • 哈夫曼编码和游程编码
    • 布隆过滤器
    • 前缀树
    • 回溯
    • 滑动窗口(思路 + 模板)
    • 位运算
    • 小岛问题
    • 最大公约数
    • 并查集
    • 平衡二叉树专题
    • 蓄水池抽样
    • 单调栈
  • 第二章 - 91 天学算法
    • 91 天学算法第三期视频会议总结
    • 第一期讲义-二分法
    • 第一期讲义-双指针
    • 第三期正在火热进行中
  • 第三章 - 精选题解
    • 字典序列删除
    • 西法的刷题秘籍】一次搞定前缀和
    • 字节跳动的算法面试题是什么难度?
    • 字节跳动的算法面试题是什么难度?(第二弹)
    • 《我是你的妈妈呀》 * 第一期
    • 一文带你看懂二叉树的序列化
    • 穿上衣服我就不认识你了?来聊聊最长上升子序列
    • 你的衣服我扒了 * 《最长公共子序列》
    • 一文看懂《最大子序列和问题》
  • 第四章 - 高频考题(简单)
    • 面试题 17.12. BiNode
    • 0001. 两数之和
    • 0020. 有效的括号
    • 0021. 合并两个有序链表
    • 0026. 删除排序数组中的重复项
    • 0053. 最大子序和
    • 0160. 相交链表
    • 0066. 加一
    • 0088. 合并两个有序数组
    • 0101. 对称二叉树
    • 0104. 二叉树的最大深度
    • 0108. 将有序数组转换为二叉搜索树
    • 0121. 买卖股票的最佳时机
    • 0122. 买卖股票的最佳时机 II
    • 0125. 验证回文串
    • 0136. 只出现一次的数字
    • 0155. 最小栈
    • 0167. 两数之和 II 输入有序数组
    • 0169. 多数元素
    • 0172. 阶乘后的零
    • 0190. 颠倒二进制位
    • 0191. 位 1 的个数
    • 0198. 打家劫舍
    • 0203. 移除链表元素
    • 0206. 反转链表
    • 0219. 存在重复元素 II
    • 0226. 翻转二叉树
    • 0232. 用栈实现队列
    • 0263. 丑数
    • 0283. 移动零
    • 0342. 4 的幂
    • 0349. 两个数组的交集
    • 0371. 两整数之和
    • 401. 二进制手表
    • 0437. 路径总和 III
    • 0455. 分发饼干
    • 0504. 七进制数
    • 0575. 分糖果
    • 0665. 非递减数列
    • 0661. 图片平滑器
    • 821. 字符的最短距离
    • 0874. 模拟行走机器人
    • 1128. 等价多米诺骨牌对的数量
    • 1260. 二维网格迁移
    • 1332. 删除回文子序列
    • 2591. 将钱分给最多的儿童
  • 第五章 - 高频考题(中等)
    • 面试题 17.09. 第 k 个数
    • 面试题 17.23. 最大黑方阵
    • 面试题 16.16. 部分排序
    • Increasing Digits
    • Longest Contiguously Strictly Increasing Sublist After Deletion
    • Consecutive Wins
    • Number of Substrings with Single Character Difference
    • Bus Fare
    • Minimum Dropping Path Sum
    • Every Sublist Min Sum
    • Maximize the Number of Equivalent Pairs After Swaps
    • 0002. 两数相加
    • 0003. 无重复字符的最长子串
    • 0005. 最长回文子串
    • 0011. 盛最多水的容器
    • 0015. 三数之和
    • 0017. 电话号码的字母组合
    • 0019. 删除链表的倒数第 N 个节点
    • 0022. 括号生成
    • 0024. 两两交换链表中的节点
    • 0029. 两数相除
    • 0031. 下一个排列
    • 0033. 搜索旋转排序数组
    • 0039. 组合总和
    • 0040. 组合总和 II
    • 0046. 全排列
    • 0047. 全排列 II
    • 0048. 旋转图像
    • 0049. 字母异位词分组
    • 0050. Pow(x, n)
    • 0055. 跳跃游戏
    • 0056. 合并区间
    • 0060. 第 k 个排列
    • 0061. 旋转链表
    • 0062. 不同路径
    • 0073. 矩阵置零
    • 0075. 颜色分类
    • 0078. 子集
    • 0079. 单词搜索
    • 0080. 删除排序数组中的重复项 II
    • 0086. 分隔链表
    • 0090. 子集 II
    • 0091. 解码方法
    • 0092. 反转链表 II
    • 0094. 二叉树的中序遍历
    • 0095. 不同的二叉搜索树 II
    • 0096. 不同的二叉搜索树
    • 0098. 验证二叉搜索树
    • 0102. 二叉树的层序遍历
    • 0103. 二叉树的锯齿形层次遍历
    • 0113. 路径总和 II
    • 0129. 求根到叶子节点数字之和
    • 0130. 被围绕的区域
    • 0131. 分割回文串
    • 0139. 单词拆分
    • 0144. 二叉树的前序遍历
    • 0147. 对链表进行插入排序
    • 0150. 逆波兰表达式求值
    • 0152. 乘积最大子数组
    • 0153. 寻找旋转排序数组中的最小值
    • 0199. 二叉树的右视图
    • 0200. 岛屿数量
    • 0201. 数字范围按位与
    • 0208. 实现 Trie (前缀树)
    • 0209. 长度最小的子数组
    • 0211. 添加与搜索单词 - 数据结构设计
    • 0215. 数组中的第 K 个最大元素
    • 0220. 存在重复元素 III
    • 0221. 最大正方形
    • 0227. 基本计算器 II
    • 0229. 求众数 II
    • 0230. 二叉搜索树中第 K 小的元素
    • 0236. 二叉树的最近公共祖先
    • 0238. 除自身以外数组的乘积
    • 0240. 搜索二维矩阵 II
    • 0279. 完全平方数
    • 0309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
    • 0322. 零钱兑换
    • 0324. 摆动排序 II
    • 0328. 奇偶链表
    • 0331. 验证二叉树的前序序列化
    • 0334. 递增的三元子序列
    • 0337. 打家劫舍 III
    • 0343. 整数拆分
    • 0365. 水壶问题
    • 0378. 有序矩阵中第 K 小的元素
    • 0380. 常数时间插入、删除和获取随机元素
    • 0394. 字符串解码
    • 0416. 分割等和子集
    • 0424. 替换后的最长重复字符
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    • 0464. 我能赢么
    • 0470. 用 Rand7() 实现 Rand10
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    • 0560. 和为 K 的子数组
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    • 0714. 买卖股票的最佳时机含手续费
    • 0718. 最长重复子数组
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    • 0785. 判断二分图
    • 0790. 多米诺和托米诺平铺
    • 0799. 香槟塔
    • 0801. 使序列递增的最小交换次数
    • 0816. 模糊坐标
    • 0820. 单词的压缩编码
    • 0838. 推多米诺
    • 0873. 最长的斐波那契子序列的长度
    • 0875. 爱吃香蕉的珂珂
    • 0877. 石子游戏
    • 0886. 可能的二分法
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    • 1737. 满足三条件之一需改变的最少字符数
    • 1770. 执行乘法运算的最大分数
    • 1793. 好子数组的最大分数
    • 1834. 单线程 CPU
    • 1899. 合并若干三元组以形成目标三元组
    • 1904. 你完成的完整对局数
    • 1906. 查询差绝对值的最小值
    • 1906. 查询差绝对值的最小值
    • 2007. 从双倍数组中还原原数组
    • 2008. 出租车的最大盈利
    • 2100. 适合打劫银行的日子
    • 2101. 引爆最多的炸弹
    • 2121. 相同元素的间隔之和
    • 2207. 字符串中最多数目的子字符串
    • 2592. 最大化数组的伟大值
    • 2593. 标记所有元素后数组的分数
    • 2817. 限制条件下元素之间的最小绝对差
    • 2865. 美丽塔 I
    • 2866. 美丽塔 II
    • 2939. 最大异或乘积
    • 3377. 使两个整数相等的数位操作
    • 3404. 统计特殊子序列的数目
    • 3428. 至多 K 个子序列的最大和最小和
  • 第六章 - 高频考题(困难)
    • LCP 20. 快速公交
    • LCP 21. 追逐游戏
    • Number Stream to Intervals
    • Triple-Inversion
    • Kth-Pair-Distance
    • Minimum-Light-Radius
    • Largest Equivalent Set of Pairs
    • Ticket-Order.md
    • Connected-Road-to-Destination
    • 0004. 寻找两个正序数组的中位数
    • 0023. 合并 K 个升序链表
    • 0025. K 个一组翻转链表
    • 0030. 串联所有单词的子串
    • 0032. 最长有效括号
    • 0042. 接雨水
    • 0052. N 皇后 II
    • 0057. 插入区间
    • 0065. 有效数字
    • 0084. 柱状图中最大的矩形
    • 0085. 最大矩形
    • 0087. 扰乱字符串
    • 0124. 二叉树中的最大路径和
    • 0128. 最长连续序列
    • 0132. 分割回文串 II
    • 0140. 单词拆分 II
    • 0145. 二叉树的后序遍历
    • 0146. LRU 缓存机制
    • 0154. 寻找旋转排序数组中的最小值 II
    • 0212. 单词搜索 II
    • 0239. 滑动窗口最大值
    • 0295. 数据流的中位数
    • 0297. 二叉树的序列化与反序列化
    • 0301. 删除无效的括号
    • 0312. 戳气球
    • 330. 按要求补齐数组
    • 0335. 路径交叉
    • 0460. LFU 缓存
    • 0472. 连接词
    • 0480. 滑动窗口中位数
    • 0483. 最小好进制
    • 0488. 祖玛游戏
    • 0493. 翻转对
    • 0664. 奇怪的打印机
    • 0679. 24 点游戏
    • 0715. Range 模块
    • 0726. 原子的数量
    • 0768. 最多能完成排序的块 II
    • 0805. 数组的均值分割
    • 0839. 相似字符串组
    • 0887. 鸡蛋掉落
    • 0895. 最大频率栈
    • 0975. 奇偶跳
    • 0995. K 连续位的最小翻转次数
    • 1032. 字符流
    • 1168. 水资源分配优化
    • 1178. 猜字谜
    • 1203. 项目管理
    • 1255. 得分最高的单词集合
    • 1345. 跳跃游戏 IV
    • 1449. 数位成本和为目标值的最大数字
    • 1494. 并行课程 II
    • 1521. 找到最接近目标值的函数值
    • 1526. 形成目标数组的子数组最少增加次数
    • 1639. 通过给定词典构造目标字符串的方案数
    • 1649. 通过指令创建有序数组
    • 1671. 得到山形数组的最少删除次数
    • 1707. 与数组中元素的最大异或值
    • 1713. 得到子序列的最少操作次数
    • 1723. 完成所有工作的最短时间
    • 1787. 使所有区间的异或结果为零
    • 1835. 所有数对按位与结果的异或和
    • 1871. 跳跃游戏 VII
    • 1872. 石子游戏 VIII
    • 1883. 准时抵达会议现场的最小跳过休息次数
    • 1970. 你能穿过矩阵的最后一天
    • 2009. 使数组连续的最少操作数
    • 2025. 分割数组的最多方案数
    • 2030. 含特定字母的最小子序列
    • 2102. 序列顺序查询
    • 2141. 同时运行 N 台电脑的最长时间
    • 2179. 统计数组中好三元组数目 👍
    • 2209. 用地毯覆盖后的最少白色砖块
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    • 3082. 求出所有子序列的能量和
    • 3108. 带权图里旅途的最小代价
    • 3347. 执行操作后元素的最高频率 II
    • 3336. 最大公约数相等的子序列数量
    • 3410. 删除所有值为某个元素后的最大子数组和
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  1. 第五章 - 高频考题(中等)

0416. 分割等和子集

题目地址(416. 分割等和子集)

https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/

题目描述

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

注意:

每个数组中的元素不会超过 100
数组的大小不会超过 200
示例 1:

输入: [1, 5, 11, 5]

输出: true

解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
 

示例 2:

输入: [1, 2, 3, 5]

输出: false

解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

前置知识

  • DFS

公司

  • 阿里

  • 腾讯

  • 百度

  • 字节

思路

抽象能力不管是在工程还是算法中都占据着绝对重要的位置。比如上题我们可以抽象为:

给定一个非空数组,和是 sum,能否找到这样的一个子序列,使其和为 2/sum

我们做过二数和,三数和, 四数和,看到这种类似的题会不会舒适一点,思路更开阔一点。

老司机们看到转化后的题,会立马想到背包问题,这里会提供深度优先搜索和背包两种解法。

深度优先遍历

我们再来看下题目描述,sum 有两种情况,

  1. 如果 sum % 2 === 1, 则肯定无解,因为 sum/2 为小数,而数组全由整数构成,子数组和不可能为小数。

  2. 如果 sum % 2 === 0, 需要找到和为 2/sum 的子序列 针对 2,我们要在 nums 里找到满足条件的子序列 subNums。 这个过程可以类比为在一个大篮子里面有 N 个球,每个球代表不同的数字,我们用一小篮子去抓取球,使得拿到的球数字和为 2/sum。那么很自然的一个想法就是,对大篮子里面的每一个球,我们考虑取它或者不取它,如果我们足够耐心,最后肯定能穷举所有的情况,判断是否有解。上述思维表述为伪代码如下:

令 target = sum / 2, nums 为输入数组, cur 为当前当前要选择的数字的索引
nums 为输入数组,target为当前求和目标,cur为当前判断的数
function dfs(nums, target, cur)
  如果target < 0 或者 cur > nums.length
    return false
  否则
    如果 target = 0, 说明找到答案了,返回true
    否则
      取当前数或者不取,进入递归 dfs(nums, target - nums[cur], cur + 1) || dfs(nums, target, cur + 1)

因为对每个数都考虑取不取,所以这里时间复杂度是 O(2 ^ n), 其中 n 是 nums 数组长度,

javascript 实现

var canPartition = function (nums) {
  let sum = nums.reduce((acc, num) => acc + num, 0);
  if (sum % 2) {
    return false;
  }
  sum = sum / 2;
  return dfs(nums, sum, 0);
};

function dfs(nums, target, cur) {
  if (target < 0 || cur > nums.length) {
    return false;
  }
  return (
    target === 0 ||
    dfs(nums, target - nums[cur], cur + 1) ||
    dfs(nums, target, cur + 1)
  );
}

不出所料,这里是超时了,我们看看有没优化空间

  1. 如果 nums 中最大值 > 2/sum, 那么肯定无解

  2. 在搜索过程中,我们对每个数都是取或者不取,并且数组中所有项都为正数。我们设取的数和为 pickedSum,不难得 pickedSum <= 2/sum, 同时要求丢弃的数为 discardSum,不难得 pickedSum <= 2 / sum。

我们同时引入这两个约束条件加强剪枝:

优化后的代码如下

var canPartition = function (nums) {
  let sum = nums.reduce((acc, num) => acc + num, 0);
  if (sum % 2) {
    return false;
  }
  sum = sum / 2;
  nums = nums.sort((a, b) => b - a);
  if (sum < nums[0]) {
    return false;
  }
  return dfs(nums, sum, sum, 0);
};

function dfs(nums, pickRemain, discardRemain, cur) {
  if (pickRemain === 0 || discardRemain === 0) {
    return true;
  }

  if (pickRemain < 0 || discardRemain < 0 || cur > nums.length) {
    return false;
  }

  return (
    dfs(nums, pickRemain - nums[cur], discardRemain, cur + 1) ||
    dfs(nums, pickRemain, discardRemain - nums[cur], cur + 1)
  );
}

leetcode 是 AC 了,但是时间复杂度 O(2 ^ n), 算法时间复杂度很差,我们看看有没更好的。

DP 解法

在用 DFS 是时候,我们是不关心取数的规律的,只要保证接下来要取的数在之前没有被取过即可。那如果我们有规律去安排取数策略的时候会怎么样呢,比如第一次取数安排在第一位,第二位取数安排在第二位,在判断第 i 位是取数的时候,我们是已经知道前 i-1 个数每次是否取的所有子序列组合,记集合 S 为这个子序列的和。再看第 i 位取数的情况, 有两种情况取或者不取

  1. 取的情况,如果 target-nums[i]在集合 S 内,则返回 true,说明前 i 个数能找到和为 target 的序列

  2. 不取的情况,如果 target 在集合 S 内,则返回 true,否则返回 false

也就是说,前 i 个数能否构成和为 target 的子序列取决为前 i-1 数的情况。

记 F[i, target] 为 nums 数组内前 i 个数能否构成和为 target 的子序列的可能,则状态转移方程为

F[i, target] = F[i - 1, target] || F[i - 1, target - nums[i]]

伪代码表示

n = nums.length
target 为 nums 各数之和
如果target不能被2整除,
  返回false

令dp为n * target 的二维矩阵, 并初始为false
遍历0:n, dp[i][0] = true 表示前i个数组成和为0的可能

遍历 0 到 n
  遍历 0 到 target
    if 当前值j大于nums[i]
      dp[i + 1][j] = dp[i][j-nums[i]] || dp[i][j]
    else
      dp[i+1][j] = dp[i][j]

算法时间复杂度 O(n*m), 空间复杂度 O(n*m), m 为 sum(nums) / 2

javascript 实现

var canPartition = function (nums) {
  let sum = nums.reduce((acc, num) => acc + num, 0);
  if (sum % 2) {
    return false;
  } else {
    sum = sum / 2;
  }

  const dp = Array.from(nums).map(() =>
    Array.from({ length: sum + 1 }).fill(false)
  );

  for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
    dp[i][0] = true;
  }

  for (let i = 0; i < dp.length - 1; i++) {
    for (let j = 0; j < dp[0].length; j++) {
      dp[i + 1][j] =
        j - nums[i] >= 0 ? dp[i][j] || dp[i][j - nums[i]] : dp[i][j];
    }
  }

  return dp[nums.length - 1][sum];
};

再看看有没有优化空间,看状态转移方程 F[i, target] = F[i - 1, target] || F[i - 1, target - nums[i]] 第 n 行的状态只依赖于第 n-1 行的状态,也就是说我们可以把二维空间压缩成一维

伪代码

遍历 0 到 n
  遍历 j 从 target 到 0
    if 当前值j大于nums[i]
      dp[j] = dp[j-nums[i]] || dp[j]
    else
      dp[j] = dp[j]

时间复杂度 O(n*m), 空间复杂度 O(n) javascript 实现

var canPartition = function (nums) {
  let sum = nums.reduce((acc, num) => acc + num, 0);
  if (sum % 2) {
    return false;
  }
  sum = sum / 2;
  const dp = Array.from({ length: sum + 1 }).fill(false);
  dp[0] = true;

  for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
    for (let j = sum; j > 0; j--) {
      dp[j] = dp[j] || (j - nums[i] >= 0 && dp[j - nums[i]]);
    }
  }

  return dp[sum];
};

背包问题

背包问题描述

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。放入第 i 件物品耗费的费用是 Ci,得到的 价值是 Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

背包问题的特性是,每种物品,我们都可以选择放或者不放。令 F[i, v]表示前 i 件物品放入到容量为 v 的背包的状态。

针对上述背包,F[i, v]表示能得到最大价值,那么状态转移方程为

F[i, v] = max{F[i-1, v], F[i-1, v-Ci] + Wi}

针对 416. 分割等和子集这题,F[i, v]的状态含义就表示前 i 个数能组成和为 v 的可能,状态转移方程为

F[i, v] = F[i-1, v] || F[i-1, v-Ci]

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

带入背包思想,F[i,v] 表示用前 i 种硬币能兑换金额数为 v 的组合数,状态转移方程为 F[i, v] = F[i-1, v] + F[i-1, v-Ci]

javascript 实现

/**
 * @param {number} amount
 * @param {number[]} coins
 * @return {number}
 */
var change = function (amount, coins) {
  const dp = Array.from({ length: amount + 1 }).fill(0);
  dp[0] = 1;
  for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
    for (let j = 1; j <= amount; j++) {
      dp[j] = dp[j] + (j - coins[i] >= 0 ? dp[j - coins[i]] : 0);
    }
  }
  return dp[amount];
};

注意这里内层循环和外层循环不能颠倒,即必须外层是遍历 coins,内层遍历 amount,否则 coins 就可能被使用多次而导致和题意不符

复杂度分析

  • 时间复杂度:$O(amount * len(coins))$

  • 空间复杂度:$O(amount)$

参考

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最后更新于2年前

这有帮助吗?

状态转移方程出来了,代码就很好写了,DFS + DP 都可以解,有不清晰的可以参考下 , 这里只提供 DP 解法

其实这道题和 是换皮题,它们都可以归属于背包问题

再回过头来看下, 原题如下

基本上看完前四讲就差不多够刷题了。

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动态规划
递归和动态规划
leetcode 518
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背包九讲